结论：当员工在生病期间劳动合同到期时，劳动合同应自动续延至医疗期结束。医疗期结束后，根据具体情况决定劳动合同的续订或终止，并依法支付相应的经济补偿或医疗补助费。以下是对此问题的详细分析：
一、劳动合同的自动续延
法律依据：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十五条，劳动合同期满，若员工患病或者非因工负伤且在规定的医疗期内，劳动合同应当续延至相应情形消失时终止。
医疗期的定义与长度：
- 医疗期是指企业职工因患病或非因工负伤停止工作治病休息不得解除劳动合同的时限。
- 医疗期的具体长度依据原劳动部《企业职工患病或非因工负伤医疗期规定》确定，根据员工实际工作年限和在本单位工作年限，医疗期长度从3个月到24个月不等。
二、医疗期内的处理
继续履行或变更合同：
- 在医疗期内，用人单位需与员工继续履行原劳动合同，或协商变更合同条款以适应员工当前身体状况，如调整工作岗位或工作时间等。
无法工作的处理：
- 若员工在医疗期满后仍无法从事原工作或用人单位另行安排的工作，用人单位在提前三十日以书面形式通知或额外支付一个月工资后，可解除劳动合同，但需支付经济补偿金。
三、医疗期结束后的处理
用人单位维持或提高条件续订：
- 医疗期届满，若用人单位愿意维持或提高劳动合同约定条件续订，而员工不同意，则劳动合同终止，用人单位无需支付经济补偿。
用人单位不续订或降低条件续订：
- 若用人单位决定不续订或降低条件续订，而员工不同意，用人单位需按《劳动合同法》第四十六条规定支付经济补偿金。
- 经济补偿金计算公式：\(经济补偿金 = 工作年限 \times 月工资\)（工作年限按每满一年支付一个月工资的标准计算，六个月以上不满一年按一年计，不足六个月支付半个月工资；月工资高于当地职工月平均工资三倍的，按三倍计算，且补偿年限最高不超过十二年）。
医疗补助费的支付：
- 劳动合同期满终止且员工患病或非因工负伤，用人单位应支付医疗补助费。
- 医疗补助费支付标准：一般不低于六个月工资；对于患重病或绝症的劳动者，医疗补助费应适当增加，患重病的增加部分不低于医疗补助费的百分之五十，患绝症的增加部分不低于百分之百。
四、特殊疾病的额外待遇
- 对于患特殊疾病（如癌症、精神病、瘫痪等）且24个月内不能痊愈的劳动者，经企业和劳动主管部门批准，可适当延长医疗期。
五、实际操作建议
证据留存：
- 员工应保存医疗证明、病假单等材料，以证明自己在医疗期内。
- 用人单位需保留合同期限记录及沟通文件，以备不时之需。
协商优先：
- 双方可就医疗期延长、岗位调整等事宜进行协商，避免争议升级。
法律咨询：
- 在处理此类复杂情况时，建议及时向我咨询，以确保双方权益得到妥善保护。
总结：员工在生病期间劳动合同到期时，其劳动权益受到法律的严格保护。用人单位应严格遵守相关法律法规，确保员工的合法权益得到充分保障。在医疗期内，劳动合同自动续延；医疗期届满后，根据具体情况决定是否续订劳动合同，并依法支付经济补偿或医疗补助费。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。