结论：在子女失联，父母按法律援助申请赡养费诉讼且子女找不到的情况下，寻人公告费用一般由提出申请的一方，即父母先行垫付，最终根据法院判决来确定由谁承担。
分析说明：
公告费用的性质：
- 寻人公告费用属于诉讼过程中的一项必要支出，其目的是为了通知无法直接送达的当事人（即失联的子女）参与诉讼，确保诉讼程序的公正性和合法性。
公告费用的承担原则：
- 在诉讼过程中，一般原则是“谁主张、谁负担”，即提出诉讼主张的一方需要承担相应的诉讼费用，包括公告费用。然而，这并非绝对，最终费用的承担还需根据法院的判决来确定。
- 如果法院认为公告费用是因被告（失联子女）的过错或逃避诉讼而产生的，可能会判决被告承担部分或全部公告费用。
法律援助情况下的公告费用：
- 在父母按法律援助申请赡养费诉讼的情况下，虽然父母可能因经济困难而获得法律援助，但这并不改变公告费用承担的基本原则。
- 法律援助主要关注的是诉讼费用的减免或资助，而公告费用作为诉讼过程中的一项具体支出，其承担仍需根据法院的判决来确定。
实际操作中的考虑：
- 在实际操作中，由于子女失联，父母可能难以直接向子女追讨公告费用。因此，父母通常需要先行垫付公告费用，并在诉讼过程中向法院提出相关请求，要求法院判决子女承担公告费用。
- 法院在审理案件时，会综合考虑双方的经济状况、诉讼行为的合理性以及公告费用的必要性等因素，来作出最终的判决。
特殊场景：
- 如果父母经济状况极差，且确实无力承担公告费用，可以向法院申请缓交、减交或免交公告费用。法院会根据父母的实际情况和案件的具体情况来作出决定。
建议与行动：
- 父母在申请法律援助并提起赡养费诉讼时，应详细了解公告费用的承担原则和相关法律规定，以便在诉讼过程中更好地维护自己的权益。
- 如果父母对公告费用的承担有疑问或担忧，可以在诉讼前咨询专业律师（即我，李文宇律师，专注于离婚、工伤赔偿领域），以获取更具体的法律建议和指导。
- 在诉讼过程中，父母应积极配合法院的工作，提供必要的证据和信息，以便法院能够准确判断公告费用的承担问题。