结论：非法解除劳动关系时，劳动者不仅可以要求支付补偿金（实际应为经济补偿金，此处根据语境理解为劳动者可能混淆了补偿金与赔偿金的概念，但核心意思是要求额外支付），更有权要求用人单位支付赔偿金，且赔偿金是经济补偿标准的二倍。

一、法律依据与核心条款

根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十八条和第八十七条的规定：

• 第四十八条：用人单位违反本法规定解除或者终止劳动合同，劳动者要求继续履行劳动合同的，用人单位应当继续履行；劳动者不要求继续履行劳动合同或者劳动合同已经不能继续履行的，用人单位应当依照本法第八十七条规定支付赔偿金。
• 第八十七条：用人单位违反本法规定解除或者终止劳动合同的，应当依照本法第四十七条规定的经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。

二、赔偿金的计算标准

1. 经济补偿金的标准：

   • 经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，以每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。
   • 六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
   • 如果劳动者月工资高于用人单位所在直辖市、设区的市级人民政府公布的本地区上年度职工月平均工资三倍的，向其支付经济补偿的标准按职工月平均工资三倍的数额支付，向其支付经济补偿的年限最高不超过十二年。

2. 赔偿金的计算：

   • 赔偿金是经济补偿标准的二倍。即，如果劳动者应得的经济补偿为N个月工资，那么赔偿金就是2N个月工资。

计算公式：

• 经济补偿金 = 工作年限（每满一年支付一个月工资）× 月平均工资（解除合同前12个月平均）
• 赔偿金 = 经济补偿金 × 2

三、认定“非法解除”的情形

用人单位的下列行为可能被认定为违法解除：

1. 无合法理由单方解约：如未满足《劳动合同法》第三十九条（过失性辞退）、第四十条（非过失性辞退）规定的条件。
2. 程序违法：
   • 未提前30日书面通知（或额外支付一个月工资）；
   • 未事先通知工会（即使事后补正仍可能无效）。
3. 证据不足：以“严重违反规章制度”为由解除时，未能提供充分证据证明事实成立或制度合法有效。

四、维权流程与注意事项

1. 收集证据：

   • 劳动者需要收集能够证明用人单位非法解除劳动合同的证据，如劳动合同、工资单、工作证、辞退通知书、录音、邮件、证人证言等。

2. 与用人单位协商：

   • 在收集到足够证据后，劳动者可以尝试与用人单位进行协商，要求支付赔偿金。

3. 申请劳动仲裁：

   • 如果协商无果，劳动者可以向当地的劳动争议仲裁委员会申请仲裁，要求确认用人单位的解除行为违法，并支付赔偿金。
   • 仲裁时效：自知道权利被侵害之日起一年内提出。

4. 提起诉讼：

   • 如果对仲裁结果不满意，劳动者还可以向人民法院提起诉讼，通过司法途径维护自己的合法权益。

5. 注意事项：

   • 及时维权：劳动者在发现用人单位非法解除劳动合同后，应及时采取措施维护自己的权益，避免错过维权时效。
   • 保留证据：在整个维权过程中，劳动者应妥善保留相关证据，以便在需要时提供证明。
   • 了解法律程序：劳动者应了解相关的法律程序和维权途径，以便更好地维护自己的合法权益。

五、示例说明

假设张某在某公司工作5年8个月，月工资8000元，因公司非法解除劳动合同而申请赔偿金：

• 经济补偿金 = 6（工作年限，满半年不满一年按一年计）× 8000（月平均工资）= 48000元
• 赔偿金 = 48000 × 2 = 96000元

因此，张某有权要求公司支付96000元的赔偿金。

行动建议：如果您遇到了非法解除劳动关系的情况，请立即收集并固定证据，并按照上述流程积极维权。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。