结论：在私立单位签订了劳动合同但工作不到一个月就想被辞退的情况下，你的权益保护及应对措施主要取决于辞退的原因和劳动合同的具体条款。以下是从不同角度为你详细分析的情况及建议：
一、若辞退原因合法且符合劳动合同约定
合法辞退情形：
- 如果私立单位因你存在严重违反公司规章制度、严重失职或营私舞弊给公司造成重大损害等合法理由而辞退你，且这些理由在劳动合同中有明确约定，那么单位的辞退行为是合法的。
- 建议：在这种情况下，你应接受辞退决定，并按照单位的要求办理离职手续。同时，你可以要求单位出具书面的辞退通知，以备后续可能的争议。
经济补偿：
- 由于你工作不到一个月，根据《劳动合同法》的相关规定，如果单位合法辞退你，通常不需要支付经济补偿金（除非劳动合同或地方性法规另有规定）。
- 建议：你可以查阅劳动合同或咨询当地劳动部门，了解是否有特殊规定要求单位支付经济补偿金。
二、若辞退原因不合法或不符合劳动合同约定
非法辞退情形：
- 如果私立单位无正当理由辞退你，或者辞退理由不符合劳动合同的约定，那么单位的辞退行为可能是非法的。
- 建议：在这种情况下，你有权要求单位继续履行劳动合同或支付赔偿金。你可以先与单位进行协商，如果协商无果，可以向当地劳动仲裁委员会申请劳动仲裁。
赔偿金计算：
- 根据《劳动合同法》的规定，如果单位非法辞退你，应按照经济补偿标准的二倍向你支付赔偿金。经济补偿标准通常按照你在单位的工作年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
- 计算公式：赔偿金 = 经济补偿标准 × 2 = 月工资 × 0.5（工作不满六个月）× 2 = 月工资
- 示例：假设你的月工资为5000元，由于工作不满六个月，单位非法辞退你时，应支付的赔偿金为5000元。
劳动仲裁流程：
- 如果你决定申请劳动仲裁，需要准备相关证据材料，如劳动合同、辞退通知、工资单等。
- 流程：向当地劳动仲裁委员会提交仲裁申请书及证据材料 → 劳动仲裁委员会受理并安排开庭 → 开庭审理并作出裁决 → 如果对裁决不服，可以在规定时间内向法院提起诉讼。
三、其他注意事项
保留证据：
- 在整个过程中，务必保留好所有与单位沟通的记录、劳动合同、工资单等证据材料，以备后续可能的争议。
咨询专业意见：
- 如果你对劳动仲裁流程或赔偿金计算等事项有疑问，可以向我进一步咨询，我会根据你的具体情况提供详细的法律建议。
关注当地法规：
- 不同地区的劳动法规可能有所不同，因此在处理此类问题时，务必关注当地的法规和政策。
总之，在私立单位签订了劳动合同但工作不到一个月就想被辞退的情况下，你的权益保护及应对措施主要取决于辞退的原因和劳动合同的具体条款。如果你认为单位的辞退行为不合法或不符合约定，可以积极维护自己的权益，通过协商或劳动仲裁等方式解决争议。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。