结论：针对您在公司上班时肋骨断裂，公司不提供合同且不配合认定工伤事故的情况，您可以通过以下步骤来维护自己的合法权益。
一、关于工伤认定
自行申请工伤认定：
- 根据《工伤保险条例》第十七条，职工发生事故伤害或者按照职业病防治法规定被诊断、鉴定为职业病，所在单位应当自事故伤害发生之日或者被诊断、鉴定为职业病之日起30日内，向统筹地区社会保险行政部门提出工伤认定申请。遇有特殊情况，经报社会保险行政部门同意，申请时限可以适当延长。
- 如果公司未在规定时间内提出工伤认定申请，您或您的近亲属、工会组织可以在事故伤害发生之日起1年内，直接向公司所在地统筹地区社会保险行政部门提出工伤认定申请。
准备相关证据：
- 尽管公司不提供合同，但您可以通过其他方式证明劳动关系，如工资条、工作证、考勤记录、同事证言等。
- 同时，收集医疗证明、事故现场照片、报警记录等证据，以证明事故的发生和您的受伤情况。
二、关于劳动合同
劳动关系的确认：
- 根据《劳动和社会保障部关于确立劳动关系有关事项的通知》，用人单位未与劳动者签订劳动合同，但劳动者通过工资支付记录、工作证、招聘登记表、考勤记录等能够证明存在劳动关系的，可以确认劳动关系。
- 您可以通过上述证据，向劳动争议仲裁委员会申请确认劳动关系。
劳动合同的补签或赔偿：
- 如果确认存在劳动关系，您可以要求公司补签劳动合同。
- 如果公司拒绝补签，根据《劳动合同法》第八十二条，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。
三、关于工伤赔偿
工伤赔偿项目：
- 一旦工伤认定成功，您可以享受工伤保险待遇，包括医疗费、康复费、住院伙食补助费、交通食宿费、停工留薪期工资、护理费、一次性伤残补助金等。
- 如果因工伤导致残疾，还可以根据伤残等级享受一次性工伤医疗补助金和一次性伤残就业补助金。
赔偿流程：
- 首先，进行工伤认定和劳动能力鉴定。
- 然后，根据鉴定结果，向公司或工伤保险基金申请赔偿。
- 如果公司拒绝赔偿或双方对赔偿金额有争议，可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，对仲裁结果不服的，还可以向人民法院提起诉讼。
四、建议与行动
及时咨询与行动：
- 鉴于工伤认定的时效性，建议您尽快收集证据并申请工伤认定。
- 同时，咨询专业律师（即我本人，张兵律师，专注于劳动纠纷等领域），以获取更具体的法律指导和帮助。
保持沟通与记录：
- 在与公司沟通的过程中，保持冷静和理性，尽量通过书面形式（如邮件、短信）进行沟通，并保留好沟通记录。
- 如果公司态度恶劣或拒绝配合，及时向相关部门（如劳动监察大队）投诉或举报。
五、可能面临的法律后果
- 如果公司未依法为您缴纳工伤保险费，根据《工伤保险条例》第六十二条，公司需要承担全部工伤保险待遇的支付责任。
- 如果公司拒绝履行赔偿义务，您可以通过法律途径追究公司的法律责任，并可能获得相应的赔偿和惩罚性赔偿。
最后，面对公司的不配合和合同的缺失，您不必过于担心。通过合法途径收集证据、申请工伤认定和劳动能力鉴定，并咨询专业律师（即我本人）的帮助，您完全有能力维护自己的合法权益。如果您有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。