第三人私刻公章与他人签订合同，付款义务的承担问题，需根据具体情况来分析，一般有以下几种情况：
若相对人（即与第三人签订合同的一方）为善意且无过失：
- 在这种情况下，相对人通常有理由相信第三人具有代表公司签订合同的权限，尤其是当第三人出示了看似真实的公章时。根据《中华人民共和国民法典》中关于表见代理的规定，如果第三人的行为构成表见代理，即相对人有理由相信行为人有代理权，那么该代理行为有效，由此产生的付款义务应由公司承担。公司承担付款义务后，有权向私刻公章的第三人追偿。
若相对人知道或应当知道第三人私刻公章：
- 如果相对人明知或应知第三人无权代表公司签订合同，却仍然与之签订，那么相对人可能被视为存在过错。在这种情况下，付款义务可能不会由公司承担，而是由相对人和第三人根据各自的过错程度分担责任。公司在此情况下，通常不需要承担付款义务，但可能需要配合相关调查或提供证据。
公司内部管理存在严重疏漏：
- 如果公司能够证明其公章管理存在严重疏漏，如公章被盗用、未妥善保管等，且这种疏漏与第三人私刻公章签订合同的行为有直接关联，那么公司可能需要承担一定的责任。然而，这种责任通常不是直接的付款义务，而是可能因管理不善而需要对相对人进行一定的赔偿或补偿。但具体责任承担还需根据案件具体情况和法院判决来确定。
法律建议：
对于公司而言：应建立健全的公章管理制度，确保公章的安全、合规使用。同时，加强对员工的法律培训，提高员工对私刻公章等违法行为的识别能力。一旦发现公章被盗用或私刻，应立即报警并通知相关方，以减少损失。
对于相对人而言：在与他人签订合同时，应仔细审查对方的身份和权限，确保对方具有代表公司签订合同的合法资格。如果对方出示了公章，应进一步核实公章的真实性和合法性。在签订合同前，可以要求对方提供公司的授权委托书或其他相关证明文件。
可能产生的法律后果：
- 如果公司被判定需要承担付款义务，那么公司将面临经济损失，并可能影响公司的信誉和形象。
- 如果相对人被判定存在过错，那么相对人可能需要自行承担部分或全部损失，并可能面临法律责任。
- 私刻公章的第三人将面临刑事责任和民事责任的双重追究，包括但不限于诈骗罪、伪造公司印章罪等刑事犯罪的指控，以及赔偿公司或相对人因此遭受的损失等民事责任。
总结来说，第三人私刻公章与他人签订合同，付款义务的承担问题需根据具体情况来分析。公司应加强公章管理，相对人应仔细审查对方身份和权限，以避免不必要的法律风险。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。