结论：公司是否可以反告员工，取决于员工未提供书面请假条这一行为是否构成严重违反公司规章制度，以及公司能否证明因此遭受了实际损失。以下从不同角度进行分析：
从规章制度的角度：
- 如果公司有明确的规章制度，规定员工请假必须提交书面请假条，且该规章制度已经通过合法程序（如职工代表大会或全体职工讨论、与工会或职工代表平等协商确定）制定并公示，或者已经告知员工，那么员工未遵守这一规定可能构成严重违反公司规章制度。
- 在此情况下，如果公司能够证明员工的行为对公司造成了实际损失（如因员工缺勤导致的工作延误、客户投诉等），公司有权依据规章制度对员工进行相应的处理，包括可能的纪律处分或要求赔偿损失。但“反告”员工通常不是法律术语，更准确的表述可能是公司依据规章制度对员工进行纪律处分或提起民事诉讼要求赔偿。
从劳动法的角度：
- 根据《中华人民共和国劳动法》及相关规定，员工因病需要休息是合法的，但应按照公司规定履行请假手续。如果员工仅口头请假而未提供书面请假条，这并不直接构成违法或违规行为，除非公司规章制度有明确规定且员工知晓。
- 如果员工因病确实无法到岗工作，且已经及时通知了公司（即使未提供书面请假条），公司通常应给予理解和支持，并安排员工进行病假休息。在此情况下，公司“反告”员工可能缺乏法律依据。
从实际损失和证据的角度：
- 无论公司是否选择对员工进行处理，都需要有充分的证据证明员工的行为对公司造成了实际损失。这包括但不限于工作延误的证明、客户投诉的记录、因员工缺勤导致的额外成本支出等。
- 如果公司无法提供这些证据，那么即使员工未提供书面请假条，公司也难以成功地对员工进行纪律处分或要求赔偿。
建议：
- 对于员工而言，建议尽量遵守公司的规章制度，按照要求提交书面请假条，以避免不必要的纠纷。如果因特殊情况无法及时提交书面请假条，应及时与公司沟通并说明情况。
- 对于公司而言，建议制定明确、合理的规章制度，并通过合法程序进行公示或告知员工。在处理员工请假问题时，应充分考虑员工的实际情况和合理需求，避免过度苛责或滥用权力。如果员工确实存在违规行为且对公司造成了实际损失，公司应依法进行处理，并保留好相关证据。
后续行动：
- 如果您是员工且面临公司的不当处理，可以收集相关证据（如通话记录、短信、邮件等证明您已经口头请假的证据）并咨询专业律师以维护自己的合法权益。
- 如果您是公司且希望对员工进行处理，建议先与员工进行沟通协商，了解具体情况并尝试达成和解。如果无法达成和解且确实存在违规行为及实际损失，可以依法进行处理并咨询专业律师以确保处理程序的合法性和有效性。
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