劳务派遣的兼职在工作时受伤，可按以下步骤处理并主张权益：

1. 立即报告与就医
   受伤后应第一时间向用工单位（实际工作单位）和劳务派遣单位报告，并尽快前往医疗机构救治。保留所有医疗记录、费用单据及诊断证明，这些是后续维权的核心证据。

2. 明确责任主体
   根据《劳动合同法》第58条及《劳务派遣暂行规定》第10条，劳务派遣单位是用人单位，需承担工伤保险责任；用工单位因工作安排导致伤害的，可能承担连带责任。具体分工如下：

   • 劳务派遣单位：必须为劳动者缴纳工伤保险。若未缴纳，需按《工伤保险条例》第62条自行承担全部工伤赔偿（包括医疗费、伤残补助等）。
     
   • 用工单位：若因提供危险工作环境、未进行安全培训等过错导致伤害，需与派遣单位共同赔偿（《民法典》第1165条）。

3. 申请工伤认定

   • 时限：受伤后1年内，由劳务派遣单位或劳动者本人向当地社保部门申请工伤认定（《工伤保险条例》第17条）。
     
   • 材料：劳动合同、派遣协议、医疗证明、事故报告等。
     
   • 结果：认定为工伤后，可享受工伤保险待遇；未认定则需通过民事诉讼主张人身损害赔偿。

4. 赔偿途径选择

   • 工伤保险赔偿：若派遣单位已参保，由工伤保险基金支付医疗费、伤残津贴等；未参保则由派遣单位全额支付。
     
   • 民事侵权赔偿：若用工单位存在过错（如设备故障、管理失职），可单独或并行起诉用工单位要求赔偿（《民法典》第1192条）。
     
   • 双重赔偿可能性：部分地区支持工伤赔偿与侵权赔偿并行（如医疗费不可重复主张，但伤残补助可叠加），需结合当地司法实践。

5. 争议解决方式

   • 协商：优先与派遣单位、用工单位协商赔偿方案。
     
   • 行政投诉：向劳动监察部门举报派遣单位未缴社保等违法行为。
     
   • 仲裁/诉讼：对工伤认定或赔偿金额有异议时，可申请劳动仲裁或提起民事诉讼。

关键提醒：

• 劳务派遣兼职同样受《劳动合同法》保护，切勿因“兼职”身份放弃维权。
  
• 保留所有与工作相关的证据（如考勤记录、工作安排通知、证人证言）。
  
• 若派遣单位与用工单位互相推诿，可同时起诉两者要求承担连带责任。
  

如有进一步细节需分析（如伤害程度、派遣协议条款等），可直接向我咨询。