结论：您可以基于宠物店未出示合格检疫证明这一违法行为，以及鹦鹉死亡的事实，向宠物店主张赔偿。具体可从以下几个角度分析和操作：
一、法律背景与依据
《中华人民共和国动物防疫法》的相关规定：
- 根据该法，出售动物应当附有检疫证明。宠物店在出售鹦鹉时未出示合格检疫证明，违反了法律规定，属于违法行为。
《中华人民共和国消费者权益保护法》的相关规定：
- 消费者在购买商品时享有知情权、公平交易权等权益。宠物店未提供检疫证明，侵犯了您的知情权，且可能因鹦鹉存在健康问题而导致其死亡，侵犯了您的公平交易权。
二、赔偿主张的依据与理由
因宠物店违法行为导致的损失：
- 宠物店未出示检疫证明，您无法确认鹦鹉的健康状况，这是导致鹦鹉死亡的可能原因之一。因此，您可以主张宠物店对鹦鹉的死亡承担责任。
赔偿范围：
- 您可以要求宠物店赔偿购买鹦鹉的费用、因鹦鹉死亡而产生的其他直接损失（如饲养成本、医疗费用等，如果有的话）。如果鹦鹉的死亡给您造成了精神损害，您还可以在合理范围内主张精神损害赔偿，但这一点需要具体证据支持，且法院对此类赔偿的认定较为严格。
三、操作建议与步骤
收集证据：
- 保留购买鹦鹉的发票、收据等交易凭证。
- 收集鹦鹉死亡的相关证据，如照片、视频、兽医的诊断证明等。
- 如果可能，获取其他顾客对宠物店类似行为的证言或证据，以证明宠物店存在普遍违法行为。
与宠物店协商：
- 首先尝试与宠物店进行友好协商，说明其违法行为及您的损失，要求其进行赔偿。
向相关部门投诉：
- 如果协商无果，您可以向当地的动物卫生监督机构或消费者协会投诉，请求他们介入调查并调解。
提起诉讼：
- 如果投诉仍未解决问题，您可以考虑向法院提起诉讼，要求宠物店承担赔偿责任。在诉讼过程中，您需要提供充分的证据来支持您的主张。
四、注意事项
- 在整个过程中，保持冷静和理性，避免与宠物店发生不必要的冲突。
- 确保所有证据的真实性和合法性，避免使用虚假或非法手段获取的证据。
- 如果对法律程序不熟悉，可以考虑咨询专业律师（即我本人，杭莎妮律师，专注于婚姻家庭、合同纠纷等多个领域，包括您当前遇到的侵权损害问题）以获取更具体的法律建议和指导。
希望以上分析能对您有所帮助。如果您有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。