结论前置：您在饭店工作了十几年却未签合同，现在被开除，完全可以申请劳动仲裁。下面我将从多个角度为您详细分析。
一、未签合同不影响劳动关系的认定
根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位自用工之日起即与劳动者建立劳动关系。即使双方未签订书面劳动合同，也不影响劳动关系的成立。您在饭店工作了十几年，已经形成了事实上的劳动关系，因此您有权享受劳动法规定的各项权益。
二、被开除可主张的权益
经济补偿金：
- 根据《劳动合同法》第四十七条，经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，以每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
- 您在饭店工作了十几年，因此有权获得相应月份数的经济补偿金。具体数额需根据您的月工资和实际工作年限来计算。
未签合同的双倍工资差额（部分情况适用）：
- 根据《劳动合同法》第八十二条，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。
- 虽然您已经工作了十几年，但如果饭店在您入职后的一年内未与您签订书面劳动合同，您理论上可以主张这部分双倍工资差额。不过，由于时间跨度较长，可能面临诉讼时效等法律问题，具体需结合实际情况判断。
其他可能的权益：
- 如果饭店的开除行为违反了劳动法规定（如无正当理由开除、未提前通知等），您还可能主张额外的赔偿金。
- 您还有权要求饭店为您补缴社会保险费等。
三、申请劳动仲裁的流程
准备证据：
- 收集能够证明您与饭店存在劳动关系的证据，如工作证、工资条、同事证言、工作记录等。
- 准备被开除的相关证据，如开除通知、解除劳动合同的证明等。
提交仲裁申请：
- 向当地劳动争议仲裁委员会提交仲裁申请，并附上相关证据材料。
- 仲裁申请应明确您的仲裁请求（如要求支付经济补偿金、双倍工资差额等）和事实理由。
参加仲裁庭审：
- 仲裁委员会将安排庭审，您需要按时参加并陈述自己的主张和证据。
- 饭店方也将有机会进行陈述和答辩。
等待仲裁裁决：
- 仲裁委员会将根据双方陈述和证据作出裁决。
- 如果对裁决结果不服，您还可以在法定期限内向人民法院提起诉讼。
四、建议与注意事项
- 及时行动：由于劳动争议有时效限制，建议您尽快准备材料并提交仲裁申请。
- 咨询专业律师：虽然我已经为您提供了基本的法律分析，但具体案件中可能涉及更多复杂情况。如果您需要更详细的法律建议或帮助准备仲裁材料，可以随时向我咨询。
- 保持冷静与理性：在处理劳动争议过程中，保持冷静与理性非常重要。避免与饭店方发生不必要的冲突或争执，以免影响仲裁结果。
希望以上分析能够对您有所帮助。如果您有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我提问。