员工可以要求继续履行劳动合同，但需根据具体情况判断能否得到支持，同时员工也有权要求用人单位支付经济补偿金。具体分析如下：

1. 用人单位不续签劳动合同的法律后果
   根据《劳动合同法》第四十四条、第四十六条规定，劳动合同期满终止时，除用人单位维持或提高劳动合同条件续订而劳动者拒绝的情形外，用人单位应当向劳动者支付经济补偿金。补偿标准按劳动者在本单位工作年限计算，每满一年支付一个月工资。若用人单位未支付补偿金，劳动者可通过劳动仲裁主张权利。

2. 员工要求继续履行合同的可行性
   若劳动合同到期时，用人单位未提前30日以书面形式通知劳动者终止合同，或存在违法终止情形（如未支付补偿金、未履行法定程序等），劳动者可依据《劳动合同法》第四十八条主张继续履行合同。但需注意：

   • 若劳动合同已实际终止（如用人单位已办理退工手续、劳动者已入职新单位），法院可能认定合同无法继续履行；
     
   • 若用人单位明确表示拒绝续签且已采取实际行动（如收回办公设备、停缴社保），法院可能不支持继续履行请求。

3. 实务建议

   • 对劳动者：若希望继续工作，应在收到不续签通知后立即书面回复要求续签，并保留证据；若接受终止，可同步主张经济补偿金及未提前通知的代通知金（如适用）。
     
   • 对用人单位：若决定不续签，应提前30日书面通知，依法支付补偿金，并办理离职手续，避免违法终止风险。

总结：员工有权要求继续履行合同，但需结合合同终止状态、用人单位行为等因素综合判断。无论是否主张继续履行，员工均可要求用人单位支付经济补偿金。如有争议，建议收集劳动合同、不续签通知、工资记录等证据，通过劳动仲裁解决。