针对您提出的“儿子被逮捕母亲病危，按合法程序如何办理申请”这一问题，核心结论是：您可以通过申请取保候审或暂予监外执行（若符合条件）来尝试解决这一困境，同时需及时与办案机关沟通并准备相关材料。以下是具体分析：
一、申请取保候审
法律依据：
- 根据《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条的规定，对于可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的，或者可能判处有期徒刑以上刑罚，但采取取保候审不致发生社会危险性的犯罪嫌疑人、被告人，可以取保候审。
- 此外，如果犯罪嫌疑人、被告人是正在怀孕或者哺乳自己婴儿的妇女，或者患有严重疾病、生活不能自理，采取取保候审不致发生社会危险性的，也可以取保候审。
申请流程：
- 准备材料：包括取保候审申请书、申请人的身份证明、担保人或保证金的证明（如适用）等。
- 提交申请：向作出逮捕决定的机关（通常是检察院或法院）提交取保候审申请书及相关材料。
- 等待审批：办案机关会在收到申请后进行审查，并在一定期限内作出是否批准的决定。
注意事项：
- 取保候审并不意味着案件的终结，犯罪嫌疑人仍需配合后续的司法程序。
- 担保人需具备一定的条件，如与本案无牵连、有能力履行保证义务等。
二、申请暂予监外执行（若儿子已被判刑）
法律依据：
- 根据《中华人民共和国刑事诉讼法》第二百六十五条的规定，对于被判处有期徒刑或者拘役的罪犯，如果患有严重疾病需要保外就医，或者生活不能自理，适用暂予监外执行不致危害社会的，可以暂予监外执行。
申请流程：
- 准备材料：包括暂予监外执行申请书、医疗证明（证明罪犯患有严重疾病需要保外就医）、生活不能自理的证明（如适用）等。
- 提交申请：向执行刑罚的机关（通常是监狱或看守所）提交暂予监外执行申请书及相关材料。
- 审批与决定：执行机关会提出书面意见，报省级以上监狱管理机关或者设区的市一级以上公安机关批准（对于在看守所服刑的罪犯，由看守所提出书面意见，报上级主管机关批准）。
注意事项：
- 暂予监外执行是暂时的，罪犯仍需在条件允许时继续服刑。
- 如果罪犯在暂予监外执行期间脱管或者违反相关规定，可能会被收监执行。
三、其他建议
- 及时沟通：与办案机关保持密切联系，及时了解案件进展和儿子的身体状况。
- 寻求帮助：如果母亲病危需要紧急照顾，可以考虑寻求其他亲属或社会组织的帮助，以确保母亲得到妥善的照料。
- 法律咨询：在整个过程中，如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询，我会根据您的具体情况提供详细的法律建议。