在逮捕阶段，如果嫌疑人家属病危，嫌疑人及其家属可以依法申请取保候审，以便嫌疑人能够暂时离开羁押场所，处理家属病危等紧急事务。以下是从不同角度对此问题的详细分析：

一、法律依据与取保候审的适用条件

根据《中华人民共和国刑事诉讼法》的相关规定，犯罪嫌疑人、被告人及其法定代理人、近亲属或者辩护人有权申请变更强制措施，如取保候审。取保候审的适用条件通常包括：

1. 可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；
2. 可能判处有期徒刑以上刑罚，采取取保候审不致发生社会危险性的；
3. 患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，采取取保候审不致发生社会危险性的；
4. 羁押期限届满，案件尚未办结，需要采取取保候审的。

在嫌疑人家属病危的情况下，虽然直接的法律条款可能并未明确提及，但可以根据“患有严重疾病、生活不能自理”的类似情形，结合人道主义原则，向办案机关提出取保候审的申请。此时，关键在于证明嫌疑人取保候审后不会发生社会危险性，并且其暂时离开羁押场所是出于处理家属病危等紧急事务的必要。

二、申请取保候审的具体流程

1. 准备申请材料：包括取保候审申请书、嫌疑人的身份证明、家属病危的医学证明或其他相关证据材料。
2. 提交申请：将申请材料提交给办案机关，如公安机关、人民检察院或人民法院。
3. 等待审查：办案机关会对申请材料进行审查，并决定是否同意取保候审。审查过程中，办案机关可能会要求补充材料或进行进一步调查。
4. 执行取保候审：如果办案机关同意取保候审，会出具取保候审决定书，并责令嫌疑人提出保证人或交纳保证金。嫌疑人需遵守取保候审的规定，如定期报告行踪、不得离开指定区域等。

三、可能面临的挑战与应对策略

1. 社会危险性评估：办案机关在审查取保候审申请时，会重点评估嫌疑人取保候审后是否会发生社会危险性。因此，在申请材料中应充分证明嫌疑人取保候审的必要性，以及其不会对社会造成危害。
2. 证据材料的充分性：家属病危的医学证明或其他相关证据材料是申请取保候审的关键。应确保这些证据材料的真实性和充分性，以便办案机关能够全面了解情况并作出合理决定。
3. 与办案机关的沟通：在申请过程中，应积极与办案机关沟通，解释嫌疑人的特殊情况，并争取其理解和支持。如果可能的话，可以寻求专业律师的帮助，以提高申请的成功率。

四、其他可能的法律途径

如果取保候审申请未获批准，嫌疑人及其家属还可以考虑以下法律途径：

1. 申请监视居住：如果嫌疑人符合监视居住的条件，可以向办案机关申请监视居住。监视居住是一种较为宽松的强制措施，允许嫌疑人在指定区域内居住并接受监督。
2. 申诉或控告：如果认为办案机关的决定存在错误或不当之处，可以向上一级办案机关申诉或控告。但这一途径通常较为复杂且耗时较长，应谨慎选择。

最后，我建议嫌疑人家属在面临此类紧急情况时，及时咨询专业律师（即我本人，齐鹏律师，专注于刑事辩护领域），以便根据具体情况制定合适的法律策略。同时，也应保持与办案机关的沟通，积极配合调查工作，以争取最佳的法律结果。