结论：父亲丢下孩子给母亲不管，这一行为是否犯法，需根据具体情况来判断，可能涉及遗弃罪或违反抚养义务的相关规定。

分析角度一：遗弃罪的认定

1. 法律定义：

   • 根据《中华人民共和国刑法》的相关规定，遗弃罪是指对于年老、年幼、患病或者其他没有独立生活能力的人，负有扶养义务而拒绝扶养，情节恶劣的行为。

2. 构成要件：

   • 主体：具有扶养义务的人，如父母对子女。
   • 主观方面：故意，即明知自己有扶养义务而拒绝扶养。
   • 客体：被扶养人的合法权益，如生命权、健康权等。
   • 客观方面：实施了拒绝扶养的行为，且情节恶劣。

3. 具体应用：

   • 如果父亲丢下孩子，导致孩子生活无着落，且父亲有能力扶养而拒绝扶养，情节恶劣的，可能构成遗弃罪。
   • “情节恶劣”通常包括导致被害人重伤、死亡，或者生活无着、流离失所、被迫沿街乞讨等情形。

分析角度二：违反抚养义务

1. 法律定义：

   • 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，父母对子女有抚养教育的义务。这一义务是法定的，必须履行。

2. 具体表现：

   • 父亲丢下孩子，不履行抚养义务，如不提供生活费、教育费、医疗费等，可能构成违反抚养义务的行为。
   • 母亲可以依法向法院提起诉讼，要求父亲履行抚养义务，支付抚养费等。

3. 法律后果：

   • 如果父亲被法院判决履行抚养义务而拒不履行，法院可以采取强制执行措施，如冻结银行账户、查封财产等。
   • 在极端情况下，如果父亲的行为构成犯罪，还可能面临刑事处罚。

分析角度三：实际案例与判断

1. 实际案例：

   • 在实际生活中，父亲丢下孩子的情况可能因具体情节而异。有的父亲可能只是暂时离开，有明确的回归计划；而有的父亲则可能长期不归，对孩子的生活造成严重影响。

2. 判断标准：

   • 判断父亲的行为是否犯法，需要综合考虑多个因素，如父亲离开的原因、时间、对孩子生活的影响程度、父亲的经济能力等。
   • 如果父亲的行为符合遗弃罪的构成要件或严重违反抚养义务，那么就可以认为其行为是犯法的。

建议与行动：

1. 收集证据：

   • 如果母亲认为父亲的行为构成犯罪或违反抚养义务，应首先收集相关证据，如父亲离开的时间、原因、对孩子生活的影响等。

2. 咨询律师：

   • 母亲可以咨询专业律师（如我，张俊华律师，专注于遗产继承、离婚财产纠纷领域），了解具体的法律程序和维权途径。

3. 提起诉讼：

   • 如果必要，母亲可以依法向法院提起诉讼，要求父亲履行抚养义务或承担刑事责任。

总结：父亲丢下孩子给母亲不管，这一行为是否犯法需根据具体情况来判断。如果父亲的行为符合遗弃罪的构成要件或严重违反抚养义务，那么就可以认为其行为是犯法的。母亲应收集相关证据，咨询专业律师，并依法维护自己和孩子的合法权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。