当定期存款的存款人去世后，其家属能否提取存款以及具体的取款方式，确实需要根据多种因素来确定。以下是我为您详细梳理的解答：

一、基本原则

存款人去世后，其银行存款成为遗产的一部分，需按照《中华人民共和国民法典》及相关法律法规进行继承。继承权的确认是取款的前提，这主要分为有遗嘱和无遗嘱两种情况：

1. 有遗嘱：存款将按照遗嘱中指定的分配方式进行继承。
2. 无遗嘱：存款将按照法定继承顺序进行分配，第一顺序为配偶、子女、父母；第二顺序为兄弟姐妹、祖父母、外祖父母。

二、取款方式与条件

1. 家属知道存折密码且存款金额不大

• 如果家属知道定期存折的密码，并且存款金额未超过银行规定的无需验证特殊手续的限额（这个限额因银行而异，一般不超过5万元），在定期到期后，家属可以直接凭借存折和密码在银行ATM机或柜台进行支取操作。

2. 家属不知道存折密码或存款金额较大

• 开具相关证明：
  • 家属需前往当地公安机关开具死亡证明，证实存款人的死亡事实。
  • 若死者生前未订立有效遗嘱或遗嘱无效，则家属还需到公证处办理继承权公证书，确认各继承人对死者存款的合法继承权。
• 携带材料前往银行办理取款：
  • 所有继承人应携带公证书（如有）、死亡证明、本人身份证、存折等相关材料，一同到银行办理取款手续。
  • 银行在审核相关文件无误后，会将存款支付给继承人。

3. 存在有效遗嘱的情况

• 如果死者生前订立了有效遗嘱，并明确指定了继承人，那么该继承人可以凭遗嘱和相关证件（如身份证、遗嘱原件、死亡证明等）直接到银行提取存款，无需再办理继承权公证。

4. 多个继承人之间存在争议的情况

• 如果多个继承人之间对存款的分配存在争议，无法协商一致，则需要通过法律途径解决。
  • 其中一位继承人可以向法院提起继承诉讼。
  • 法院会根据法律规定和实际情况进行审理，并作出判决。
  • 在法院作出判决后，继承人可以凭借生效的判决书到银行办理取款手续。

三、特殊情况与注意事项

• 小额存款简化提取：部分银行对于小额存款（一般不超过1万元，部分银行可能上调至5万元）的提取，可能提供了简化流程，无需继承公证，但需提交死亡证明、亲属关系证明等材料。
• 遵守银行规定：不同银行对于存款提取的具体规定和操作流程可能有所不同，家属在办理取款手续时，应详细了解并遵守银行的相关规定。
• 寻求专业帮助：在处理此类问题时，如果家属遇到复杂情况或争议，建议咨询专业的律师或法律机构，以确保自己的合法权益得到妥善维护。

综上所述，定期存款的存款人去世后，其家属能否提取存款及具体的取款方式取决于多种因素。家属在办理取款手续时，应详细了解并遵守相关法律法规和银行规定，确保遗产处理的合法性和有效性。