结论：房东和第三者是否需承担因修改支付方式导致的欠租责任，需视具体情况而定，一般情况下，若修改支付方式未经承租人同意或未形成有效变更协议，房东和第三者可能无需直接承担欠租责任，但具体责任划分还需结合合同条款、双方行为及法律规定综合判断。以下从不同角度进行分析：
一、合同变更的法定要求
合同变更需双方协商一致：
- 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，合同变更需经合同双方当事人协商一致，并达成书面或口头协议（口头协议在特定情况下也有效，但租赁合同通常建议书面形式）。若房东与第三者单方面修改支付方式，未经承租人同意，则该变更对承租人不产生法律效力。
变更内容需明确具体：
- 合同变更的内容应当明确具体，包括支付方式的变更（如从银行转账变为现金支付）、支付时间的变更等。若变更内容模糊不清，可能导致双方对合同条款的理解产生分歧，进而影响责任的划分。
二、房东与第三者的行为分析
房东的行为：
- 若房东未经承租人同意，擅自与第三者修改支付方式，并导致欠租，房东可能构成违约。但房东的违约行为并不直接导致其与第三者共同承担欠租责任，除非房东与第三者存在共同侵权或恶意串通等情形。
- 若房东在修改支付方式后，及时通知了承租人，并得到了承租人的默认或追认，则该变更可能对承租人产生法律效力。此时，若因第三者原因导致欠租，房东可能需根据具体情况承担一定责任，但并非直接与第三者共同承担。
第三者的行为：
- 第三者通常不是租赁合同的当事人，除非其与房东存在特定关系（如共同出租人、代理人等），否则一般不对欠租承担责任。
- 若第三者与房东恶意串通，修改支付方式以损害承租人利益，则第三者可能需与房东共同承担责任。但这种情况需要承租人提供充分证据证明。
三、承租人的应对措施
审查合同条款：
- 承租人应仔细审查租赁合同中的支付条款，确认支付方式、支付时间等是否明确具体。若合同中未明确规定支付方式或规定模糊，承租人可与房东协商补充或明确。
及时沟通协商：
- 若房东提出修改支付方式，承租人应及时与房东沟通协商，表达自己的意见和诉求。若双方无法达成一致意见，承租人可拒绝修改支付方式，并要求房东按照原合同履行。
保留证据：
- 承租人应保留与房东沟通协商的记录、支付凭证等相关证据，以备不时之需。若因房东或第三者原因导致欠租，承租人可依据这些证据维护自己的合法权益。
四、法律后果及建议
法律后果：
- 若因房东或第三者原因导致欠租，承租人可依据租赁合同和相关法律规定要求房东承担违约责任或赔偿损失。若房东与第三者存在共同侵权或恶意串通等情形，承租人还可要求其共同承担责任。
建议：
- 在签订租赁合同时，承租人应明确支付方式、支付时间等关键条款，并要求房东提供有效的联系方式和支付账户信息。
- 在租赁期间，承租人应密切关注支付情况，确保租金按时足额支付。若发现房东或第三者存在修改支付方式等异常行为，应及时与房东沟通协商并保留证据。
- 若因欠租问题产生纠纷，承租人可寻求法律援助或咨询专业律师（即向我咨询），以维护自己的合法权益。