结论：员工在路上开老年电动车自己撞树上了，公司是否承担责任，需根据具体情况来判断，一般情况下公司不直接承担责任，但若存在特定情形，公司可能需要承担相应责任。以下从不同角度进行分析：
一、一般情况：公司不承担责任
个人行为与工作无关：
- 如果员工开老年电动车的行为与工作无关，比如是在下班后、休息日或者非工作时间内发生的，且该行为并非公司指派或要求，那么这通常被视为员工的个人行为。
- 在这种情况下，公司一般不承担因员工个人行为导致的损害赔偿责任。员工需要自行承担因事故造成的损失，包括医疗费用、车辆维修费用等。
非工伤情形：
- 根据《工伤保险条例》的规定，工伤通常指的是在工作时间内、工作场所内或者因工作原因受到的事故伤害。
- 员工开老年电动车自己撞树上的行为，如果并非发生在工作时间内、工作场所内，也不是因工作原因导致的，那么该事故一般不被认定为工伤。
- 因此，公司无需按照工伤保险的相关规定承担赔偿责任。
二、特定情况：公司可能承担责任
公司指派或要求：
- 如果员工开老年电动车是公司指派或要求的工作任务，比如为公司运送物品、接送客户等，且该行为发生在工作时间内或与工作紧密相关，那么该事故可能被视为工伤。
- 在这种情况下，公司需要按照工伤保险的相关规定承担赔偿责任，包括支付医疗费用、伤残津贴等。
公司存在过错：
- 如果公司存在过错，比如未提供安全的交通工具、未对员工进行必要的安全培训、未制定合理的安全管理制度等，且这些过错与员工发生事故之间存在因果关系，那么公司可能需要承担相应的赔偿责任。
- 这种赔偿责任可能基于侵权责任法或劳动合同法的相关规定，具体取决于公司的过错程度和员工受损情况。
三、建议与措施
员工方面：
- 员工在发生事故后，应及时报警并保留相关证据，如事故现场照片、交警出具的事故认定书等。
- 如果员工认为公司应承担责任，可以与公司进行协商或寻求法律援助，通过法律途径维护自己的合法权益。
公司方面：
- 公司应加强对员工的安全教育和管理，制定合理的安全管理制度和操作规程，确保员工在工作过程中的安全。
- 如果公司认为员工的事故与工作无关，可以要求员工提供相关证据进行证明，并明确告知员工公司不承担赔偿责任。
- 如果公司存在过错或可能承担责任，应积极与员工协商解决方案，避免纠纷升级和扩大化。
总结：员工在路上开老年电动车自己撞树上了，公司是否承担责任需根据具体情况来判断。在一般情况下，公司不直接承担责任；但若存在公司指派或要求、公司存在过错等特定情形，公司可能需要承担相应责任。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。