针对您提出的“公房原承租人已去世，无承租协议，子女继续居住，如何证明承租人”的问题，以下是我为您提供的详细解答：

一、公房承租权的法律属性

首先，需要明确的是，公房的承租权并不等同于私有房产的所有权。公房的所有权归政府或公共机构所有，承租人仅享有使用权。因此，当原承租人去世后，其承租权并不能像私有房产那样直接继承。

二、新承租人的确定原则

在公房原承租人去世后，新承租人的确定通常遵循以下原则：

1. 共同居住人优先：如果原承租人生前有共同居住人，且这些共同居住人在该处有本市常住户口，那么他们应首先进行协商，以确定新的承租人。协商一致后，出租人（即公房管理部门）应同意所选定的人选继续承租。

2. 法定顺序确定：如果协商不一致或无共同居住人，那么将按照法定顺序确定新承租人。通常，这个顺序是原承租人的配偶、子女（考虑居住时间和住房情况）、父母，然后是其他直系亲属。

三、子女如何证明并继续承租

针对您的情况，即原承租人已去世且无承租协议，子女若想继续承租，可以按照以下步骤进行：

1. 收集证据：

   • 子女需要收集能够证明自己与原承租人关系的证据，如户口簿、出生证明等。
   • 同时，收集能够证明自己在该公房处实际居住的证据，如水电费缴纳记录、社区证明等。

2. 协商确定：

   • 如果存在其他共同居住人，子女应与其他共同居住人进行协商，以确定新的承租人。协商过程中，应充分考虑各方的实际情况和需求。

3. 提交申请：

   • 如果协商一致或子女是唯一符合条件的承租人，那么子女需要准备相关材料，如户籍簿、身份证、死亡证明、过户申请书等，并提交至相关的公房管理部门（如房管所等）。

4. 审核与变更：

   • 公房管理部门将对提交的材料进行审核，以确认子女是否符合承租条件。
   • 审核通过后，公房管理部门将变更公房租赁关系，子女将获得公房的承租权。

四、注意事项

• 在整个过程中，子女应确保所有提交的材料真实、有效，并符合公房管理部门的要求。
• 如果遇到任何问题或困难，子女可以咨询当地公房管理机构或法律专业人士，以获取准确的信息和专业的指导。

综上所述，虽然公房承租权不能直接继承，但符合条件的子女在原承租人去世后是可以申请继续承租的。为了确保自身权益，子女应及时了解并熟悉当地关于公房的政策规定，并按照规定办理相关手续。