结论：律师在遇到两个顾问单位之间的合同履行纠纷时，并不必然需要回避，但需根据具体情况判断是否存在利益冲突或可能影响公正执业的情形。以下从多个角度进行分析：

1. 利益冲突原则：

   • 律师在执业过程中，应避免同时代表存在直接利益冲突的双方当事人。若两个顾问单位之间的合同纠纷涉及直接的经济利益对立，如一方要求赔偿而另一方拒绝，则律师同时为双方提供服务可能构成利益冲突。
   • 法律依据：根据《律师法》及相关律师职业道德规范，律师不得在同一案件中为双方当事人担任代理人，也不得代理与本人或者其近亲属有利益冲突的法律事务。

2. 顾问单位关系的特殊性：

   • 若两个顾问单位之间的合同纠纷并不直接涉及双方的核心利益，或者纠纷性质较为轻微，且律师能够确保在处理纠纷时保持中立和公正，不偏袒任何一方，则可能不需要回避。
   • 实践考量：在实际操作中，律师应评估纠纷的复杂性、双方当事人的立场以及可能产生的法律后果，以判断是否能够继续同时为两个顾问单位提供服务。

3. 律师的忠诚义务与保密义务：

   • 律师对每个顾问单位都负有忠诚义务和保密义务。若同时处理两个顾问单位之间的合同纠纷，可能面临信息泄露或无法充分履行忠诚义务的风险。
   • 风险防控：律师应采取严格的信息隔离措施，确保不将一方顾问单位的信息泄露给另一方，并在处理纠纷时保持高度的谨慎和公正。

4. 替代方案与建议：

   • 若律师认为存在利益冲突或无法保持公正执业，应及时向两个顾问单位说明情况，并提出替代方案，如推荐其他合适的律师或律师事务所处理纠纷。
   • 沟通协商：律师应与两个顾问单位进行充分沟通，解释可能存在的利益冲突和回避的必要性，以维护良好的顾问关系。

法律建议：

• 律师在遇到此类情况时，应首先评估纠纷的性质、双方当事人的立场以及可能产生的法律后果。
• 若存在利益冲突或无法保持公正执业的情形，律师应及时向顾问单位说明情况，并提出合理的解决方案。
• 律师应严格遵守《律师法》及相关律师职业道德规范，确保在处理纠纷时保持中立和公正，维护法律的尊严和当事人的合法权益。

可能后果：

• 若律师未妥善处理利益冲突问题，可能面临法律责任和职业道德的谴责，甚至可能损害律师的声誉和职业生涯。
• 对于顾问单位而言，若律师在处理纠纷时存在偏袒或不当行为，可能导致纠纷处理结果的不公正，进而损害顾问单位的利益。

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