结论：在病期间公司和您协商解除劳动合同，您是可以申请劳动仲裁的。下面我将从多个角度为您详细分析这个问题。
一、协商解除劳动合同的合法性
首先，我们需要明确的是，协商解除劳动合同是双方自愿的行为，只要双方达成一致，且不违反法律法规的强制性规定，就是合法的。在您病期间，如果公司提出与您协商解除劳动合同，您有权根据自己的实际情况和意愿来决定是否接受。
二、病期间协商解除劳动合同的特殊考虑
然而，在病期间协商解除劳动合同，有一些特殊的情况需要考虑：
医疗期保护：根据《劳动合同法》的相关规定，劳动者在医疗期、孕期、产期和哺乳期内，除非劳动者有严重违反用人单位规章制度等法定情形，用人单位不得单方面解除劳动合同。但这里的关键是“单方面解除”，而协商解除并不受此限制。也就是说，即使您在医疗期内，双方仍然可以协商解除劳动合同。
经济补偿：如果双方协商解除劳动合同，公司通常需要向您支付经济补偿。经济补偿的标准根据您在公司的工作年限和月工资来确定。具体来说，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。这里的月工资是指您在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资。
医疗补助费：如果您在病期间协商解除劳动合同，且您的病情尚未痊愈，您还可以考虑要求公司支付医疗补助费。医疗补助费的具体数额和支付条件可能因地区和公司政策而异，但通常是根据您的病情和医疗费用情况来确定的。
三、申请劳动仲裁的可行性
如果您在病期间与公司协商解除劳动合同后，认为公司未按照约定支付经济补偿或医疗补助费，或者您认为协商解除劳动合同的过程中存在欺诈、胁迫等违法行为，您都可以向劳动仲裁机构申请劳动仲裁。劳动仲裁机构将依法对您的申请进行审理，并作出裁决。
四、建议与注意事项
保留证据：在协商解除劳动合同的过程中，建议您保留好所有相关的书面证据，如解除劳动合同协议书、经济补偿支付凭证等。这些证据将在您申请劳动仲裁时起到关键作用。
咨询专业意见：在协商解除劳动合同或申请劳动仲裁前，建议您咨询专业的劳动法律师或劳动仲裁机构的意见，以确保您的权益得到充分保障。
注意时效：根据《劳动争议调解仲裁法》的规定，劳动争议申请仲裁的时效期间为一年。因此，如果您决定申请劳动仲裁，请务必在时效期间内提出。
如果您在病期间与公司协商解除劳动合同后遇到任何问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。我将根据您的具体情况，为您提供专业的法律意见和帮助。