结论：公办幼儿园找第三方和老师签合同是否合法，需根据具体情况判断，主要涉及劳动合同法的相关规定以及劳务派遣的合法性等问题。以下从不同角度进行分析：

1. 如果公办幼儿园与第三方签订的是劳务派遣协议，且该协议符合法律规定：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》第五十七条至第六十七条的规定，经营劳务派遣业务应当具备相应条件并经许可，劳务派遣单位应当与被派遣劳动者订立二年以上的固定期限劳动合同，按月支付劳动报酬，并在无工作期间按最低工资标准支付报酬。同时，劳务派遣一般在临时性、辅助性或者替代性的工作岗位上实施，且用工单位使用的被派遣劳动者数量不得超过其用工总量的一定比例（具体比例由国务院劳动行政部门规定）。
   • 若公办幼儿园与第三方（劳务派遣单位）的协议及操作均符合上述规定，且老师作为被派遣劳动者与第三方签订了劳动合同，那么这种安排是合法的。

2. 如果公办幼儿园与第三方签订的是其他类型的合同，如服务外包合同，且老师实际上是在为公办幼儿园提供劳务：

   • 在这种情况下，需要明确老师与公办幼儿园或第三方之间的法律关系。如果老师与第三方签订的是劳动合同，但实际工作由公办幼儿园安排和管理，且报酬由公办幼儿园支付或通过第三方支付但实质上来源于公办幼儿园，那么可能构成事实劳动关系，此时应适用劳动合同法的相关规定。
   • 若公办幼儿园试图通过服务外包合同来规避与老师之间的劳动关系，而实际上老师的工作性质、管理方式等均符合劳动关系的特征，那么这种安排可能被认定为违法，公办幼儿园可能需要承担相应的法律责任。

3. 如果公办幼儿园直接与老师签订劳动合同，但通过第三方进行工资发放或社保缴纳等：

   • 这种安排本身并不直接违反法律规定，但需要确保劳动合同的签订、履行等均符合劳动合同法的规定，且第三方只是作为代发工资或代缴社保的机构，不涉及对老师的管理和指挥等劳动关系核心要素。
   • 若公办幼儿园通过第三方来规避其作为用人单位的法定义务，如未按时足额支付工资、未依法缴纳社保等，那么这种安排是违法的，公办幼儿园和第三方均可能需要承担相应的法律责任。

建议：

• 对于公办幼儿园而言，应确保与第三方签订的合同类型、内容以及实际操作均符合法律规定，避免通过不正当手段规避用人单位的法定义务。
• 对于老师而言，应仔细审查与第三方或公办幼儿园签订的合同内容，明确自己的法律地位和权益保障情况。如有疑问或发现违法行为，应及时向劳动监察部门投诉或寻求法律援助。

可能后果：

• 若公办幼儿园与第三方的安排被认定为违法，公办幼儿园可能需要承担支付未签劳动合同双倍工资、补缴社保、支付经济补偿金等法律责任。
• 老师也可能因未签订合法有效的劳动合同而面临维权困难等问题。

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