首先明确结论：因讨薪杀死老板，即便有抑郁症且过后投案自首，也仍然构成故意杀人罪，将面临严厉的刑事处罚。具体刑期难以直接给出一个“至少”的确定数字，但可以根据相关法律规定和司法实践进行大致分析。

一、法律定性

1. 故意杀人罪：根据《中华人民共和国刑法》第二百三十二条的规定，故意杀人的，处死刑、无期徒刑或者十年以上有期徒刑；情节较轻的，处三年以上十年以下有期徒刑。在此案例中，因讨薪而杀死老板，显然具有故意杀人的主观故意和客观行为，因此构成故意杀人罪。

2. 抑郁症的影响：抑郁症作为一种精神疾病，可能在一定程度上影响行为人的辨认和控制能力。然而，在刑事法律中，只有当精神疾病导致行为人完全丧失辨认或控制自己行为的能力时，才可能被认定为无刑事责任能力或限制刑事责任能力。如果抑郁症并未达到这一程度，那么行为人仍然需要承担完全的刑事责任。

二、量刑情节

1. 自首情节：根据《中华人民共和国刑法》第六十七条的规定，犯罪以后自动投案，如实供述自己的罪行的，是自首。对于自首的犯罪分子，可以从轻或者减轻处罚。在此案例中，行为人过后投案自首，可以视为自首情节，有可能在量刑时得到一定的从轻或减轻。

2. 犯罪动机和情节：讨薪是劳动者的合法权益，但采取极端手段如杀人来维护这一权益，显然是不合法的。犯罪动机虽然可能在一定程度上反映行为人的主观恶性，但并不能成为减轻刑事责任的理由。同时，犯罪情节如手段残忍、后果严重等，也会影响量刑。

三、具体刑期分析

1. 基准刑：故意杀人罪的基准刑通常是十年以上有期徒刑、无期徒刑或死刑。具体选择哪种刑期，取决于犯罪情节的严重程度、行为人的主观恶性、社会危害程度等因素。

2. 量刑调整：在基准刑的基础上，根据自首等量刑情节进行量刑调整。自首通常可以从轻或减轻处罚，但具体减轻的幅度需要根据案件的具体情况来判断。

3. 综合考量：除了自首情节外，法院还会综合考虑其他因素，如行为人的认罪态度、悔罪表现、赔偿情况等，来最终确定刑期。

四、建议与提醒

1. 法律途径解决纠纷：讨薪等劳动纠纷应通过法律途径来解决，如申请劳动仲裁、提起民事诉讼等。采取极端手段不仅不能解决问题，还会让自己陷入更严重的法律困境。

2. 及时寻求法律帮助：如果面临劳动纠纷或其他法律问题，应及时寻求专业律师的帮助，以便更好地维护自己的合法权益。

3. 尊重生命与法律：生命是宝贵的，法律是严肃的。无论遇到什么困难和挑战，都应尊重生命、遵守法律，以合法、理性的方式来解决问题。

最后需要强调的是，每个案件都有其独特性和复杂性，最终的刑期需要由法院根据案件的具体情况来判决。如果你或你身边的人面临类似的问题，可以直接向我咨询，我会根据具体情况提供更详细的法律建议。