当奶茶店突然闭店时，员工确实有权根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定来要求用人单位进行赔偿。以下是对这一问题的详细解答：

一、赔偿的法律依据

根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十四条和第四十六条，当用人单位（如奶茶店）被吊销营业执照、责令关闭、撤销或者决定提前解散时，劳动合同即终止。在此情况下，用人单位应当向劳动者支付经济补偿。

二、经济补偿的计算标准

1. 工作年限：经济补偿是按照劳动者在本单位工作的年限来计算的。每满一年，用人单位需支付一个月工资作为经济补偿；如果工作六个月以上但不满一年，也按一年计算；如果工作不满六个月，则支付半个月工资的经济补偿。

2. 月工资定义：月工资是指劳动者在劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资。这里需要注意的是，如果劳动者的月工资高于所在地区上年度职工月平均工资的三倍，那么经济补偿将按照三倍数额来支付，但最高支付年限不超过十二年。

三、其他赔偿内容

除了经济补偿外，用人单位还需结清员工已工作期间的全部工资，这包括基本工资、绩效工资以及加班工资等。如果用人单位存在拖欠工资或未依法支付加班工资的情况，那么除了支付相应的工资外，还需按照法律规定支付赔偿金。此外，用人单位还需为员工缴纳劳动关系存续期间未缴纳的社会保险费用。

四、代通知金与额外赔偿

如果用人单位在终止劳动合同时，未提前三十日以书面形式通知劳动者，那么根据法律规定，用人单位还需额外支付一个月工资作为代通知金（但需符合法定情形）。

五、索赔途径与注意事项

1. 索赔途径：

   • 协商：员工可以首先尝试与用人单位进行协商，寻求双方都能接受的解决方案。
   • 投诉：如果协商无果，员工可以向当地劳动监察部门投诉，由其进行调查处理。
   • 劳动仲裁或诉讼：员工还可以选择提起劳动仲裁或诉讼，通过法律途径来维护自己的权益。

2. 注意事项：

   • 在索赔过程中，员工需要收集并保留好相关证据，如劳动合同、工资条、考勤记录等，以支持自己的主张。
   • 如果用人单位进入破产清算程序，员工的工资和经济补偿属于优先受偿的债权，员工应密切关注破产清算的进展，确保自己的权益得到保障。

综上所述，当奶茶店突然闭店时，员工应了解自己的权益和索赔途径，并根据相关法律法规要求用人单位进行赔偿。在索赔过程中，准备好相关证据以支持自己的主张是至关重要的。