在老伴去世后，另一半和子女继承家业的方式主要取决于是否存在遗嘱以及财产的性质，具体分为以下几种情况：

1. 有遗嘱的情况：

   • 如果老伴在生前立有合法有效的遗嘱，那么遗产的分配将按照遗嘱的内容进行。这意味着，遗嘱中指定的继承人将继承相应的财产，而其他继承人（包括另一半和子女）则按照遗嘱的指示进行分配，可能无法继承或继承较少份额。
   • 特别提醒：遗嘱必须符合法律规定的形式和实质要件，如自书遗嘱需由遗嘱人亲笔书写、签名并注明日期；代书遗嘱需有两个以上无利害关系的见证人在场见证等。否则，遗嘱可能被认定为无效。

2. 无遗嘱的情况：

   • 如果老伴没有立遗嘱，那么遗产将按照法定继承的方式分配。根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，法定继承的第一顺序继承人包括配偶、子女和父母。因此，在老伴去世后，另一半和子女作为第一顺序继承人，将共同继承遗产。
   • 分配原则：在法定继承中，同一顺序的继承人一般应当均等分配遗产。但如果有特殊情况，如继承人生活有特殊困难且缺乏劳动能力，或者对被继承人尽了主要扶养义务等，可以给予适当多分。
   • 财产性质的影响：如果财产属于夫妻共同财产，那么在继承前需要先分割出属于另一半的份额，剩余部分才作为遗产进行分配。例如，如果夫妻共同拥有一套房产，那么老伴去世后，另一半首先拥有该房产的一半份额，剩余的一半份额才作为遗产由另一半和子女共同继承。

3. 特殊情况的考虑：

   • 如果子女中有先于老伴去世的，那么该子女的直系晚辈血亲（如孙子女、外孙子女）可以代位继承该子女应继承的份额。
   • 如果另一半或子女中有丧失继承权的情况（如故意杀害被继承人、为争夺遗产而杀害其他继承人等），则他们将无法继承遗产。

行动建议：

• 在处理遗产继承问题时，建议家庭成员之间保持沟通，尽量通过协商达成一致意见，以避免不必要的纠纷。
• 如果协商不成，可以寻求第三方调解机构的帮助，如人民调解委员会等。
• 如果调解无果，或者遗产分配问题较为复杂，建议及时咨询专业律师，通过法律途径解决争议。

在处理这类问题时，请务必保持冷静和理性，依法维护自己的合法权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。