当第三次劳动合同到期，而公司选择不续签第四次时，您作为劳动者是有权获得相应经济补偿的，甚至在某些情况下可以要求赔偿金。以下是对此问题的详细解答：
一、法律依据与无固定期限劳动合同的订立
根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，当您与公司连续订立二次固定期限劳动合同后，若您没有提出订立固定期限劳动合同的要求，且不存在严重违反公司规章制度、不能胜任工作等情形，公司应当与您订立无固定期限劳动合同。这是法律为了保护劳动者的就业稳定性而设定的规定。
二、赔偿情形与标准
公司违法终止劳动合同：
- 如果公司违反上述规定，不与您订立无固定期限劳动合同，而是选择终止劳动关系，那么这构成违法终止劳动合同。
- 在这种情况下，您有权要求公司支付赔偿金，赔偿金的标准为经济补偿的二倍。
经济补偿的计算：
- 经济补偿按您在本公司工作的年限计算，每满一年支付一个月工资的标准。
- 六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。
- 月工资是指您在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资。如果月工资高于当地上年度职工月平均工资三倍的，按三倍数额支付，且最高不超过十二年。
特殊情况：
- 如果您在第三次劳动合同到期后，主动提出不续签或要求签订固定期限劳动合同，而公司同意的，则公司无需支付赔偿金，但可能仍需支付经济补偿金（具体取决于双方协商结果和当地法律法规）。
- 如果您存在严重违反公司规章制度、不能胜任工作等情形，公司有权不续签劳动合同，并且无需支付经济补偿金或赔偿金。
三、维权途径与建议
保留证据：
- 您应保留好与公司签订的劳动合同、工资单、考勤记录等证据，以便在发生争议时维护自己的合法权益。
协商解决：
- 在劳动合同到期前，您可以与公司进行协商，就续签劳动合同或经济补偿的事宜达成一致意见。
申请仲裁或诉讼：
- 如果公司拒绝续签劳动合同并拒绝支付赔偿金，您可以向当地劳动人事争议仲裁委员会申请仲裁。
- 对仲裁结果不服的，您还可以向人民法院提起诉讼，通过法律途径维护自己的权益。
四、举例说明
假设您在某公司工作了5年零8个月，月工资为8000元，当地上年度职工月平均工资为5000元。
- 经济补偿：您的工作年限超过5年半，按6年计算，经济补偿金额为8000元/月 × 6月 = 48000元。
- 赔偿金：若公司是违法终止劳动合同，需支付赔偿金，金额为48000元 × 2 = 96000元。
综上所述，当第三次劳动合同到期公司不签第四次时，您应充分了解自己的法律权益和维权途径，并妥善保留相关证据以便在必要时进行维权。如果公司拒绝支付经济补偿或赔偿金，您可以通过协商、仲裁或诉讼等途径来维护自己的合法权益。