针对您提出的问题——已在单位工作5年，第5年未签劳动合同且在4月被解雇，如何获得赔偿，以下是我根据《中华人民共和国劳动合同法》为您提供的详细解答：

一、未签订书面劳动合同的双倍工资差额

根据《劳动合同法》的相关规定，用人单位应在用工之日起一个月内与劳动者订立书面劳动合同。若未签订，则自第二个月起至满一年期间，用人单位需向劳动者每月支付二倍的工资。虽然您已经工作了5年，但针对第5年未签劳动合同的情况，理论上您仍有权主张从第5年用工之日起第二个月开始至第5年结束（或至实际签订劳动合同之日止，如果在此期间签订了的话）的双倍工资差额。不过，由于您已经工作了完整的5年，且通常双倍工资差额的追诉时效为一年（从应签而未签劳动合同的第二个月起算），实际操作中可能只能追诉最近一年的双倍工资差额（具体需根据当地劳动仲裁或法院的实践来确定）。但在此问题的语境下，我们假设可以就第5年未签合同的部分主张赔偿，若按最宽泛理解，即主张第5年全年的双倍工资差额（实际需根据具体情况和当地实践调整），计算方式为：月工资（应发工资）× 11（假设第5年首月不计算双倍，从第二个月开始算至第12个月，共11个月，具体月份根据实际情况调整）。但更合理的做法是，考虑到时效问题，可能只能主张最近几个月至一年的双倍工资差额，这里我们以一个较为宽泛且便于理解的数字来说明原理，实际计算需依据具体情况。

重点说明：由于您已工作5年，对于前4年未签合同的情况，因已超过双倍工资差额的追诉时效，通常无法再主张。但第5年的情况，若符合当地劳动仲裁或法院的追诉时效规定，则可主张。

二、经济补偿金与赔偿金

1. 经济补偿金：

   • 若用人单位是依据《劳动合同法》的相关规定合法解除劳动关系，如您不能胜任工作、客观情况发生重大变化等情形，用人单位需支付经济补偿金。根据您在本单位工作的年限（5年），用人单位应支付5个月工资的经济补偿金。计算方式为：月工资 × 5。

2. 赔偿金：

   • 若用人单位无故辞退您，且您无过错的，属于违法解除劳动关系。根据《劳动合同法》第八十七条的规定，用人单位需按经济补偿标准的两倍向您支付赔偿金。因此，您应获得10个月工资的赔偿金。计算方式为：月工资 × 10（即经济补偿标准的两倍，5个月×2）。

三、特殊情况说明

• 若您存在《劳动合同法》第三十九条规定的情形，如严重违反用人单位的规章制度、严重失职等，用人单位可以解除劳动合同，且无需支付经济补偿金、赔偿金或双倍工资。

四、具体主张步骤

1. 收集证据：您应收集与用人单位存在劳动关系、工作时长、工资标准等相关证据，如工资支付记录、工作证、考勤记录、工作邮件、同事证言等。

2. 与用人单位协商：尝试与用人单位沟通协商，指出其未签订劳动合同和违法辞退行为的法律后果，并要求合理赔偿。

3. 申请劳动仲裁：若协商不成，可向当地劳动争议仲裁委员会申请仲裁，提交仲裁申请书及证据材料。在仲裁申请中，明确您的赔偿请求，包括双倍工资差额、经济补偿金或赔偿金等。

4. 提起诉讼：对仲裁结果不满意时，可在规定时间内向人民法院提起诉讼以维护自身权益。

五、总结与建议

• 针对您的情况，若用人单位存在违法情形（如无故辞退且未签劳动合同），您有权主张双倍工资差额（针对第5年未签合同的部分，具体月份需根据实际情况和当地实践确定）、经济补偿金（若合法解除）或赔偿金（若违法解除）。
• 由于劳动争议案件的复杂性和地域性差异，建议您在主张权益前及时咨询专业律师或当地劳动仲裁机构，以获取更详细的法律帮助和指导。

希望以上解答能对您有所帮助。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时咨询。