结论：公司4月未续签劳动合同，5月才续签的行为是否违法以及您是否可以拒绝续签并要求赔偿，需分情况讨论。

分析：

1. 关于违法性的判断：

   • 若劳动合同到期后，公司未及时续签但继续用工：根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。因此，如果公司在4月未续签劳动合同但继续让您工作，直到5月才续签，那么公司应当支付您4月这一未续签期间的双倍工资（扣除已支付的部分）。
   • 若劳动合同到期后，公司明确表示不再续签或未继续用工：则不存在上述违法情形，但公司应依法支付您经济补偿（如果符合支付经济补偿的条件，如合同到期公司不续签等）。

2. 关于您是否可以拒绝续签并要求赔偿：

   • 若公司4月未续签但继续用工，且您同意继续工作：则您实际上已经与公司形成了事实劳动关系。在5月公司提出续签时，您可以选择续签或拒绝。如果您拒绝续签，且没有证据表明公司存在过错（如降低劳动合同约定条件等），则您通常无法要求公司支付赔偿。但如果您能证明公司存在过错，或者因公司未及时续签给您造成了损失（如错失其他工作机会等），您可以尝试要求公司承担相应责任。
   • 若公司4月未续签且未继续用工，或您不同意继续工作：则劳动合同在到期时即已终止。此时，如果您希望继续工作，可以与公司协商续签；如果公司不同意续签或您不同意公司提出的续签条件，则劳动合同终止，公司应依法支付您经济补偿（如果符合支付经济补偿的条件）。

建议：

• 与公司沟通：首先，建议您与公司进行沟通，了解公司未及时续签的原因，并表达您的诉求和关切。
• 保留证据：无论您选择续签还是拒绝续签，都请务必保留好相关证据，如劳动合同、工资单、工作记录、沟通记录等，以备不时之需。
• 寻求法律帮助：如果您对公司的行为或续签条件有异议，或者因公司未及时续签给您造成了损失，建议您及时咨询专业律师（即向我咨询），以便更好地维护您的合法权益。

后续行动：

• 如果您决定拒绝续签并要求赔偿，请务必在了解清楚相关法律法规和自身权益的基础上，谨慎行事。
• 如果您希望继续工作并与公司续签劳动合同，请与公司协商好续签条件，并确保续签后的劳动合同内容合法、合规。

如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。