在执行过程中，双方私下达成和解后，若之后发现新证据，确实有可能提出再审申请，但需满足一定条件。以下从不同角度为您详细分析：

一、法律依据与再审条件

根据《中华人民共和国民事诉讼法》的相关规定，当事人对已经发生法律效力的判决、裁定，认为有错误的，可以向上一级人民法院申请再审。其中，因“有新的证据，足以推翻原判决、裁定的”情形，人民法院应当再审。这意味着，如果新发现的证据足够有力，能够改变原判决或裁定的结果，那么当事人就有权申请再审。

二、新证据的认定标准

1. 新发现性：新证据必须是在原判决、裁定生效后新发现的证据，或者是在原诉讼过程中由于客观原因无法取得，而在后续过程中取得的证据。
2. 关联性：新证据必须与案件事实具有直接关联，能够证明原判决、裁定存在错误。
3. 证明力：新证据必须具有足够的证明力，足以推翻原判决、裁定。这通常要求新证据在真实性、合法性和关联性上均无可挑剔，且能够形成完整的证据链。

三、私下和解与再审申请的关系

1. 和解协议的效力：双方私下达成的和解协议，如果已经得到法院的确认或者已经履行完毕，那么该和解协议通常具有法律效力。但是，这并不影响当事人基于新证据提出再审申请的权利。
2. 再审申请的独立性：再审申请是基于新证据的出现，对原判决、裁定提出质疑，要求法院重新审理。这与双方私下达成的和解协议是两个独立的法律行为。因此，即使双方已经和解，如果新证据出现，仍然可以提出再审申请。

四、实际操作中的注意事项

1. 及时申请：一旦发现新证据，应当尽快向法院提出再审申请，以免超过法定的申请期限。
2. 充分准备：在提出再审申请时，应当充分准备相关证据材料，确保新证据的真实性、合法性和关联性。
3. 寻求专业帮助：由于再审申请涉及复杂的法律程序和证据规则，建议您在提出再审申请前咨询专业律师，以确保申请的成功率。

五、可能面临的法律后果

1. 再审成功：如果法院认为新证据足够有力，决定再审，并最终改判或撤销原判决、裁定，那么当事人的权益将得到重新保护。
2. 再审失败：如果法院认为新证据不足以推翻原判决、裁定，或者再审申请不符合法定条件，那么再审申请将被驳回，原判决、裁定将继续有效。

综上所述，执行过程中双方私下达成和解后，若之后发现新证据，确实有可能提出再审申请。但具体能否成功，还需根据新证据的证明力以及法院的审查结果来确定。如果您在此方面有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。