结论：在劳动争议案件中，当事人在仲裁阶段主张经济补偿金，起诉到法院时是可以主张赔偿金的，但具体能否获得支持，需根据案件事实和法律规定来判断。以下从多个角度为你详细分析：
一、法律程序与权利变更
- 法律程序的连贯性：根据《中华人民共和国劳动争议调解仲裁法》第四十八条，劳动者对仲裁裁决不服的，有权在收到仲裁裁决书之日起十五日内向人民法院提起诉讼。这意味着，在从仲裁过渡到诉讼的过程中，当事人可以根据案件事实和法律规定，调整或变更自己的诉求，包括从主张经济补偿金变更为主张赔偿金。
- 权利变更的合法性：法律并未禁止当事人在诉讼阶段变更或增加诉讼请求，只要新提出的诉讼请求与仲裁阶段的事实和理由具有关联性，且符合法律规定的起诉条件，法院通常会予以受理。
二、经济补偿金与赔偿金的区别与联系
- 性质不同：
- 经济补偿金：是基于劳动合同关系终止或解除时，用人单位依法应给予劳动者的经济补助，通常用于弥补劳动者因劳动合同终止或解除而遭受的损失。
- 赔偿金：则用于弥补因一方违法行为给对方造成的实际损失或损害，如用人单位违法解除劳动合同给劳动者造成的损失。
- 适用条件不同：
- 经济补偿金：适用于劳动合同期满终止、用人单位经济性裁员、劳动者被迫解除劳动合同等特定情形，具体依据《中华人民共和国劳动合同法》第四十六条的规定。
- 赔偿金：则适用于用人单位存在违法行为，如违法解除劳动合同、未及时足额支付劳动报酬等情形。
- 可能同时存在：在某些情况下，赔偿金和经济补偿金可能同时存在于同一案件中，但它们的计算方式、支付条件和性质均有所不同。例如，用人单位违法解除劳动合同，劳动者既可以要求用人单位支付赔偿金，也可以要求用人单位支付经济补偿金（如果符合经济补偿金的支付条件）。
三、实践中的操作指南
- 明确主张：在起诉到法院时，应清晰明确地指出自己的主张是赔偿金、经济补偿金，还是两者兼有。这有助于法院准确理解你的诉求，并作出相应的判决。
- 变更或增加诉讼请求：如果在仲裁阶段主张的是经济补偿金，但在诉讼阶段认为用人单位的行为更符合支付赔偿金的情形，那么有权在诉讼中变更或增加赔偿金的诉讼请求。此时应确保新提出的诉讼请求与仲裁阶段的事实和理由具有关联性，并符合法律规定的起诉条件。
- 举证责任：在提出新的诉讼请求时，需在法院规定的举证期限内提供充分的证据来支持自己的主张。这包括证明用人单位存在违法行为、自身符合经济补偿金或赔偿金的支付条件等相关证据。
四、注意事项与风险提示
- 避免新的独立诉讼请求：在变更或增加诉讼请求时，应谨慎行事，避免被法院视为提出了新的、独立的诉讼请求而可能不予受理。新的独立诉讼请求通常指的是与原仲裁请求无直接关联、需要另行审理的请求。
- 充分了解法律规定：在起诉前应深入了解相关法律法规和案件事实，以便更准确地提出自己的诉讼请求，并评估其获得支持的可能性。这有助于减少诉讼风险，提高诉讼效率。
建议：如果你在仲裁阶段主张了经济补偿金，但起诉到法院时希望主张赔偿金，建议你仔细分析案件事实和法律规定，明确自己的诉求，并在法院规定的举证期限内提供充分的证据来支持自己的主张。如果你对此有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。