针对您提出的问题，即私下抱养4年，生母落户但没有收养证和出生证，是否可以法院起诉监护权，以下是我的详细解答：

首先，我们需要明确的是，根据《中国公民收养子女登记办法》的相关规定，收养关系的成立需要依法进行登记，并提交一系列必要的证件和证明材料，包括但不限于收养人的居民户口簿、居民身份证、婚姻状况和抚养教育被收养人的能力证明、身体健康检查证明，以及送养人的相关证件和证明材料等。其中，对于非社会福利机构抚养的查找不到生父母的弃婴和儿童，收养人还需要提交公安机关出具的捡拾弃婴、儿童报案的证明。

在您的情况下，由于私下抱养且没有办理收养登记，同时也没有出生证和公安机关出具的捡拾弃婴、儿童报案的证明，这确实给收养关系的合法性和监护权的确认带来了困难。

关于是否可以法院起诉监护权，这主要取决于您能否提供足够的证据来证明您与被收养人之间已经形成了事实上的抚养关系，并且这种抚养关系对被收养人的成长是有利的。然而，在没有收养证和出生证的情况下，要证明这一点可能会比较困难。

建议步骤：

1. 尝试补办相关证明：

   • 您可以尝试与生母协商，看是否能够补办出生证或其他相关证明。
   • 同时，您可以向当地公安机关说明情况，看是否能够根据实际情况出具捡拾弃婴、儿童报案的证明或其他相关证明。

2. 咨询专业律师：

   • 在尝试补办证明的同时，建议您咨询专业律师，了解在没有收养证和出生证的情况下，如何通过法律途径确认监护权。
   • 律师可以根据您的具体情况，提供针对性的法律建议和解决方案。

3. 考虑法律程序：

   • 如果补办证明和协商均无法解决问题，您可能需要考虑通过法律程序来确认监护权。
   • 这可能包括向法院提起诉讼，要求确认您与被收养人之间的抚养关系，并请求法院判决监护权归属。

需要强调的是：

• 在没有合法收养手续的情况下，私下抱养可能存在一定的法律风险。
• 确认监护权是一个复杂的法律过程，需要充分的证据和专业的法律支持。
• 因此，我强烈建议您在采取任何行动之前，先咨询专业律师的意见。

综上所述，虽然在没有收养证和出生证的情况下确认监护权可能会比较困难，但并非完全不可能。通过补办相关证明、咨询专业律师和考虑法律程序等步骤，您仍然有可能通过法律途径来确认您与被收养人之间的抚养关系和监护权。