核心结论：在原被告双方达成庭外和解协议但被告未履行且原告未撤诉的情况下，法院会根据具体情况进行调解或作出相应裁决，原告可继续推进诉讼程序，并可依据和解协议申请强制执行。

详细分析：

1. 原告的权利与法院的裁决权

   • 原告在达成庭外和解协议后，仍有权决定是否撤诉。撤诉与否，最终决定权在法院手中（《中华人民共和国民事诉讼法》第一百四十八条）。若原告未撤诉，法院将继续审理案件。

2. 被告未履行的法律后果

   • 被告未履行庭外和解协议，构成违约。原告可依据和解协议，向法院提交相关证据，说明被告未履行的情况，并请求法院继续审理案件或作出有利于自己的裁决。

3. 法院的处理方式

   • 调解：法院在了解双方情况后，可能会尝试进行调解，促使双方再次达成和解或明确各自的权利义务。
   • 裁决：若调解无果，法院将根据双方提交的证据和法律规定，作出裁决。裁决可能包括确认和解协议的有效性、要求被告履行和解协议、判决被告承担违约责任等。

4. 原告的后续行动建议

   • 提交证据：原告应向法院提交和解协议、被告未履行的证据（如沟通记录、履行情况证明等），以支持自己的主张。
   • 申请强制执行：若法院判决被告履行和解协议或承担违约责任，而被告仍拒不履行，原告可在判决生效后，向法院申请强制执行。
   • 准备应对法律程序：原告应做好应对后续法律程序的准备，包括准备相关证据、参与庭审等。

5. 特殊情况考虑

   • 和解协议的有效性：若和解协议存在欺诈、胁迫、重大误解等可能导致协议无效或可撤销的情形，原告或被告均可向法院提出申请，请求确认和解协议无效或撤销。
   • 撤诉的考虑：虽然原告未撤诉，但若在诉讼过程中，双方再次达成和解且原告认为撤诉更为合适，原告仍可向法院申请撤诉。但撤诉与否，仍需法院裁定。

示例说明： 假设原被告双方因合同纠纷达成庭外和解协议，约定被告在一定期限内支付原告一定金额的款项。但期限届满后，被告未履行支付义务。原告未撤诉，继续向法院提起诉讼。在此情况下，法院将审理案件，并根据双方提交的证据和法律规定作出裁决。若法院判决被告支付款项，而被告仍拒不履行，原告可在判决生效后向法院申请强制执行。

总结与建议： 在原被告双方达成庭外和解协议但被告未履行且原告未撤诉的情况下，原告应积极向法院提交证据，说明被告未履行的情况，并请求法院继续审理案件或作出有利于自己的裁决。同时，原告也应做好应对后续法律程序的准备，并考虑在适当时候申请强制执行以维护自己的合法权益。如有任何法律疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。