当当事人达成和解后申请撤诉时，法院的处理流程通常遵循以下步骤，以确保程序的公正性和合法性：

一、提交撤诉申请

首先，原告（即提起诉讼的一方）需要向法院提交正式的撤诉申请。在申请中，原告应明确说明撤诉的原因，即双方已达成和解协议，并希望终止诉讼程序。这一步骤是撤诉流程的起点，也是法院了解原告意愿的重要途径。

二、法院审查撤诉申请

法院在收到撤诉申请后，会对其进行审查。审查的内容主要包括：

1. 撤诉申请的合法性：法院会确认撤诉申请是否符合法律规定的程序和要求，如是否由原告本人或其合法代理人提交，是否包含了必要的撤诉理由等。
2. 和解协议的有效性：虽然法院不直接审查和解协议的具体内容，但会确认双方是否确实达成了和解，以及和解协议是否对双方具有约束力。这有助于法院判断撤诉是否基于双方的真实意愿。
3. 是否损害第三方利益：法院会审查撤诉是否可能损害国家、集体或第三人的利益。如果撤诉可能损害这些利益，法院可能会不予准许。

三、作出撤诉裁定

如果法院审查后认为撤诉申请合法、有效，且不会损害第三方利益，那么法院会在规定的时间内（通常是提交申请后的13个工作日内，但具体时间可能因法院工作效率和案件复杂程度而异）作出准许撤诉的裁定。这一裁定是法院对撤诉申请的正式回应，也是诉讼程序终止的法律依据。

四、案件终止审理

一旦法院作出准许撤诉的裁定，案件即会终止审理。这意味着诉讼程序正式结束，双方不再需要继续参与诉讼活动。同时，和解协议作为双方自愿协商解决纠纷的结果，具有法律效力，双方需按照协议约定履行各自的义务。

五、后续事宜处理

虽然诉讼程序已经终止，但双方仍需关注和解协议的履行情况。如果一方违反和解协议，另一方可以依据协议内容通过诉讼等方式寻求救济。此外，撤诉后原告在一定条件下可能还拥有再次起诉的权利，但需符合法定条件。

总结与建议

达成和解协议后申请撤诉是一种高效、和谐的纠纷解决方式。它不仅能避免诉讼的冗长和不确定性，还能保障双方的合法权益。然而，在撤诉过程中，双方应确保和解协议的合法性和有效性，并严格按照法律程序进行撤诉申请。如果对撤诉流程或和解协议的履行存在疑问，建议咨询专业律师以获取更详细的法律指导。