结论前置：培训机构老师离职后带学生离开是否违法，需根据具体情况及相关法律法规和合同约定来判断。若涉及违反合同、侵犯商业秘密或违反个人信息保护法，则可能构成违法。
详细分析
一、合同约定与违约责任
情形分析：
- 培训机构与老师签订的劳动合同或其他协议中，可能包含竞业限制条款、保密条款或禁止挖走学员等内容。这些条款旨在保护培训机构的合法权益，防止员工离职后做出损害机构利益的行为。
- 如果老师离职后带走学生的行为违反了合同中的相关约定，那么这一行为就可能构成违约。
法律依据：
- 根据《中华人民共和国民法典》第五百七十七条，当事人一方不履行合同义务或者履行合同义务不符合约定的，应当承担继续履行、采取补救措施或者赔偿损失等违约责任。
后果：
- 培训机构有权要求老师承担违约责任，包括但不限于支付违约金、赔偿损失等。
二、商业秘密的保护
情形分析：
- 学生信息，包括联系方式、学习情况等，通常被视为培训机构的商业秘密。老师离职后擅自将学生带走，可能构成对培训机构商业秘密的侵犯。
- 如果老师通过不正当手段获取学生信息，或者违反保密义务披露、使用学生信息，都可能构成侵权。
法律依据：
- 根据《中华人民共和国反不正当竞争法》第九条，经营者不得实施侵犯商业秘密的行为，包括以不正当手段获取、披露、使用或允许他人使用权利人的商业秘密。
- 同时，根据《中华人民共和国刑法》的相关规定，侵犯商业秘密情节严重的，还可能面临刑事处罚。
后果：
- 培训机构可以要求侵权人停止侵权行为，并赔偿因侵权所遭受的损失。
- 情节严重的，侵权人还可能面临刑事处罚。
三、学生的自主选择权与个人信息保护
情形分析：
- 如果老师与培训机构的合同中没有相关限制约定，且没有侵犯培训机构商业秘密等违法行为，同时学生是基于对老师个人教学能力的认可，自愿跟随老师到新的机构学习，这种情况下老师的行为一般不构成违法。
- 但需要注意的是，即使学生自愿跟随老师，老师在带走学生过程中也不得侵犯学生的个人信息权益。例如，老师不得擅自使用或泄露学生的个人信息，否则可能构成对学生个人信息权益的侵犯。
法律依据：
- 学生作为消费者，享有自主选择培训机构的权利。
- 同时，根据《中华人民共和国个人信息保护法》的相关规定，任何组织、个人不得非法收集、使用、加工、传输他人个人信息，不得非法买卖、提供或者公开他人个人信息。
后果：
- 如果老师侵犯了学生的个人信息权益，学生有权要求老师停止侵害、赔偿损失等。
四、综合考虑与建议
- 在处理此类问题时，应全面考虑合同内容、双方权利义务、商业秘密保护以及学生的自主选择权和个人信息保护等因素。
- 若遇到类似情况，建议首先查阅合同条款，明确双方的权利和义务；其次，评估行为是否涉及商业秘密的侵犯或学生个人信息的泄露；最后，结合具体情况判断行为的合法性。
- 如果你或培训机构遇到此类问题，可以直接向我咨询，我会根据具体情况提供针对性的法律建议。
综上所述，培训机构老师离职后带学生离开是否违法，不能一概而论，而应根据具体情况及相关法律法规和合同约定进行综合判断。