核心结论：员工在工作期间故意不穿劳保鞋、不带安全帽导致工伤，公司追责需分情况处理，主要涉及工伤保险责任承担、公司内部管理责任以及员工过错责任追究等方面。具体如下：
工伤保险责任承担方面
- 公司仍需承担工伤保险责任：根据《工伤保险条例》规定，职工在工作时间和工作场所内，因工作原因受到事故伤害的，应当认定为工伤。只要符合工伤认定条件，即使员工存在故意不遵守安全规定的行为，公司一般仍需为其申报工伤，工伤保险基金或公司（若未参保）需支付相应的工伤待遇，如医疗费、伤残补助金等。这是因为工伤保险实行无过错责任原则，其目的是保障受伤职工获得及时的医疗救治和经济补偿。
- 例外情况：如果员工存在故意犯罪、醉酒或者吸毒、自残或者自杀等情形的，不得认定为工伤或者视同工伤，公司无需承担工伤保险责任。但故意不穿劳保鞋、不带安全帽通常不属于上述例外情形。
公司内部管理责任方面
- 公司有权依据规章制度进行处分：公司通常会制定安全生产规章制度，明确规定员工在工作期间必须穿戴劳保用品，如劳保鞋、安全帽等。员工故意违反这些规定，公司可以依据内部规章制度对其进行相应的处分，如警告、罚款、记过、降职、解除劳动合同等。但公司在制定和执行规章制度时，需确保规章制度的内容合法、程序合法，例如经过民主程序制定、向员工公示等。
- 公司应加强安全管理和教育：公司有义务为员工提供符合国家标准的劳动安全卫生条件和必要的劳动防护用品，并教育员工正确使用。对于员工故意不遵守安全规定的行为，公司应反思自身在安全管理和教育方面是否存在不足，加强安全培训、监督和检查，预防类似事故的再次发生。
员工过错责任追究方面
- 公司可要求员工承担部分经济损失：虽然公司需承担工伤保险责任，但如果员工的故意行为给公司造成了其他经济损失，如设备损坏、生产中断等，公司可以根据实际情况，要求员工承担相应的赔偿责任。不过，公司在要求员工赔偿时，需提供充分的证据证明员工的过错行为与经济损失之间存在因果关系，并且赔偿金额应合理，不得超出员工的承受能力。
- 民事赔偿与工伤待遇的区分：员工因工伤获得的工伤保险待遇是基于其与公司的劳动关系和工伤保险制度，而公司要求员工承担的经济损失赔偿是基于员工的过错行为给公司造成的实际损失。两者是不同的法律关系，不能相互抵消。公司不能因为要求员工赔偿经济损失而拒绝支付工伤待遇，也不能因为支付了工伤待遇而免除员工应承担的赔偿责任。