结论：在公司未支付加班费的情况下，劳动者有权选择不续签劳动合同，并可以要求公司支付应得的加班费及可能的经济补偿和赔偿金。以下从多个角度进行分析：
法律依据与解析
劳动合同法相关规定：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第三十八条，用人单位未及时足额支付劳动报酬的，劳动者可以解除劳动合同。加班费作为劳动报酬的一部分，若公司未支付，即构成未及时足额支付劳动报酬的情形，劳动者因此享有解除合同的权利。
- 同时，《中华人民共和国劳动合同法》第四十六条规定，劳动者依照第三十八条规定解除劳动合同的，用人单位应当向劳动者支付经济补偿。
加班费的法律性质与赔偿责任：
- 《中华人民共和国劳动合同法》第八十五条明确指出，用人单位安排加班不支付加班费的，由劳动行政部门责令限期支付劳动报酬、加班费或者经济补偿；逾期不支付的，还需按应付金额百分之五十以上百分之一百以下的标准向劳动者加付赔偿金。
劳动者权益与操作建议
劳动者权益：
- 在公司未支付加班费的情况下，劳动者不仅有权选择不续签劳动合同，还可以要求公司支付应得的加班费、经济补偿以及可能的赔偿金。
举证责任与证据保留：
- 劳动者需要对公司未支付加班费的事实承担举证责任。建议劳动者保留好相关证据，如考勤记录、加班申请单、工作记录（邮件、聊天记录等）、工资条等，以证明加班事实及公司未支付加班费的情况。
特殊情况处理：
- 如果公司与劳动者就加班及加班费支付问题另有约定，且该约定不违反法律法规的强制性规定，那么需要按照约定来判断劳动者是否可以以未支付加班费为由不续签劳动合同。例如，双方约定了在特定项目结束后统一结算加班费，而项目尚未结束或结算周期未到，此时劳动者仅以当前未支付加班费为由不续签劳动合同可能不太合适。
后续操作建议：
- 在决定不续签劳动合同时，劳动者应确保已与公司结清所有工资、福利及补偿等事项。
- 若公司拒绝支付加班费、经济补偿或赔偿金，劳动者可以向当地劳动行政部门投诉，或向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，甚至向法院提起诉讼以维护自己的合法权益。
实际操作中的注意事项
- 及时沟通：在决定不续签劳动合同前，建议劳动者先与公司进行沟通，明确表达公司未支付加班费的事实及自己的诉求，看公司是否愿意支付加班费并续签劳动合同。
- 遵循法定程序：如果公司拒绝支付加班费或经济补偿，劳动者应遵循法定程序进行维权，如先向劳动行政部门投诉，再考虑申请仲裁或提起诉讼。
- 保留证据：在整个过程中，劳动者应保留好所有相关证据，以备不时之需。
综上所述，公司未支付加班费时，劳动者有权选择不续签劳动合同，并要求公司支付应得的加班费、经济补偿及可能的赔偿金。在操作过程中，劳动者应保留好相关证据，遵循法定程序，并根据具体情况灵活处理。如果你有进一步的法律问题或需要更具体的法律建议，可以直接向我咨询。