公司不申请伤残鉴定时，职工本人完全有权且可以自行申请伤残鉴定。这一结论基于《工伤保险条例》的明确规定，旨在保障职工在工伤情况下的合法权益。
一、法律依据与申请权利
根据《工伤保险条例》，职工在发生事故伤害或被诊断为职业病后，若所在单位未在规定时限内（通常是30日内，特殊情况下可适当延长）向社会保险行政部门提出工伤认定申请，那么工伤职工或其近亲属、工会组织有权在事故伤害发生之日或被诊断、鉴定为职业病之日起1年内，直接向用人单位所在地统筹地区社会保险行政部门提出工伤认定申请。完成工伤认定后，若职工存在残疾或影响劳动能力的情况，他们还有权向设区的市级劳动能力鉴定委员会提出劳动能力鉴定（即伤残鉴定）申请。
二、申请条件与所需材料
申请条件：
- 职工需满足工伤发生的条件，即因工作原因受到事故伤害或被诊断为职业病。
- 经治疗伤情相对稳定后，存在残疾或影响劳动能力的情况，或在停工留薪期满（含延长期限）后提出申请。
所需材料：
- 工伤认定决定书原件及复印件。
- 有效的诊断证明，包括医疗机构出具的受伤后诊断证明书或职业病诊断证明书。
- 按照医疗机构病历管理有关规定复印或复制的检查、检验报告等完整病历材料。
- 工伤职工的居民身份证或社会保障卡等其他有效身份证明原件和复印件。
- 劳动能力鉴定委员会规定的其他必要材料，如劳动、聘用合同文本复印件或证明与用人单位存在劳动关系的其他材料。
三、申请流程与注意事项
选择鉴定机构：
- 建议通过当地人力资源和社会保障部门官网查询具备资质的伤残鉴定机构，或咨询相关部门获取推荐，以确保鉴定的权威性和准确性。
提交申请：
- 携带准备好的申请材料前往选定的鉴定机构，填写申请表格并缴纳鉴定费用。
机构受理与安排：
- 鉴定机构将对申请材料进行审核，符合要求后予以受理，并安排具体的鉴定时间。
进行鉴定：
- 按照约定时间到指定地点接受鉴定，通常包括体格检查、功能测试等环节，以全面评估职工的劳动能力受损情况。
出具报告：
- 鉴定完成后，鉴定机构将出具伤残鉴定报告，明确伤残等级等相关信息，为职工后续的工伤待遇申请提供依据。
在申请过程中，职工应注意以下几点：
- 伤残鉴定的完成时间可能因多种因素而异，一般约需2~3小时，请合理安排时间。
- 若对鉴定结果有异议，可依法申请重新鉴定或复议，以维护自己的合法权益。
- 整个申请流程应遵循相关法律法规，确保材料的真实性和完整性，避免因材料不全或虚假而影响鉴定结果。
综上所述，当公司不履行申请伤残鉴定的义务时，职工本人完全有能力也有途径去启动这一程序。通过遵循上述法律依据、申请条件、材料准备、申请流程及注意事项，职工可以有效地维护自己的合法权益。