结论前置：食品行业厨师没有健康证且公司通知后仍不去办理，公司是否可以开除，需根据厨师的具体工作岗位、健康状况及公司处理方式的合法性来综合判断。
若厨师从事接触直接入口食品的工作且无法取得健康证：
- 根据《中华人民共和国食品安全法》第四十五条，食品生产经营者必须建立并执行从业人员健康管理制度，患有有碍食品安全疾病的人员不得从事接触直接入口食品的工作，且相关从业人员需每年进行健康检查并取得健康证明后方可上岗。
- 若厨师因健康原因无法取得健康证，且无法在合理期限内满足岗位健康要求，公司可依据法律规定解除劳动合同。但此时，公司需提前三十日以书面形式通知厨师或额外支付一个月工资，并按工作年限支付经济补偿金。
若厨师从事非接触直接入口食品的工作：
- 若厨师的工作不涉及直接接触入口食品，或其健康状况虽影响健康证办理但不妨碍其履行现职工作，公司不得以健康证为由辞退厨师。否则，可能构成违法解除劳动合同，厨师有权要求继续履行合同或获得双倍经济补偿金的赔偿金。
若厨师从事接触直接入口食品的工作但疾病可治愈：
- 对于因可治愈疾病暂时无法取得健康证的厨师，公司应给予合理的医疗期进行治疗。在医疗期内，不得解除劳动合同。
- 医疗期满后，若厨师能恢复健康并取得健康证或调整到非接触直接入口食品的岗位后胜任工作，则不得辞退；若仍无法满足健康要求，公司可按上述第一种情况处理。
综合考虑因素：
- 在处理此类问题时，公司还需考虑劳动合同中的约定、工作性质、单位的规章制度以及厨师的实际状况等因素。
- 公司应确保处理方式的人性化和合法性，避免侵犯厨师的合法权益。例如，在通知厨师办理健康证时，应明确告知其法律后果，并给予合理的期限。
法律建议：
- 对于公司而言，在面对厨师因健康证问题而可能涉及的劳动关系调整时，应谨慎处理，确保遵循相关法律法规，尊重厨师的合法权益。在具体操作中，建议咨询专业法律人士（如我，蒋玉杰律师，专注于刑事辩护、经济纠纷、婚姻家庭、合同纠纷领域），以确保处理的合法性和合理性。
- 对于厨师而言，应积极配合公司办理健康证，确保自身健康状况符合岗位要求。若因健康原因无法取得健康证，应及时与公司沟通，寻求合理的解决方案。
可能的法律后果：
- 若公司违法解除劳动合同，厨师有权要求继续履行合同或获得双倍经济补偿金的赔偿金。
- 若厨师因未办理健康证而给公司造成损失的，公司有权要求厨师承担相应的赔偿责任。但这一责任需基于厨师的过错程度、损失大小等因素进行综合判断。