结论：总公司给分公司出具授权施工后，分公司以自己名义进行诉讼，在符合一定条件下是可行的，但具体操作和法律后果需分情况讨论。
- 分公司具有诉讼主体资格的情况
- 法律规定依据：根据《民事诉讼法》及相关司法解释，分公司虽然不具有独立的法人资格，但在总公司授权范围内从事经营活动时，可以以自己的名义参与诉讼。这是因为分公司作为总公司的分支机构，在业务开展过程中会产生一定的民事法律关系，为了便于其维护自身合法权益和履行义务，法律赋予了其一定的诉讼主体资格。
- 实际操作要点：在这种情况下，分公司可以直接作为原告或被告参与诉讼。例如，在建设工程施工合同纠纷中，如果分公司依据总公司的授权进行了施工，因工程款支付等问题与发包方产生争议，分公司可以以自己的名义向法院提起诉讼，要求发包方支付工程款。在诉讼过程中，分公司需要提供总公司的授权文件、施工合同等相关证据，以证明其具有合法的诉讼主体资格和相应的权利义务。
- 分公司不具有独立诉讼主体资格，需以总公司名义诉讼的情况
- 法律规定依据：如果分公司没有取得营业执照或者营业执照被吊销、注销等，或者总公司的授权不明确、超出授权范围等，分公司可能不具有独立的诉讼主体资格。此时，应当以总公司为诉讼当事人参与诉讼。这是因为分公司的民事行为能力受到总公司的限制，在没有合法授权或存在其他瑕疵的情况下，其不能独立承担民事责任。
- 实际操作要点：例如，某分公司未取得营业执照就擅自开展施工活动，并与他人签订了施工合同，后因合同履行问题产生纠纷。在这种情况下，由于分公司不具备合法的经营资格，其签订的合同可能被认定为无效，且分公司不能以自己的名义进行诉讼，应当由总公司作为诉讼主体参与诉讼。总公司需要承担相应的法律责任，包括可能面临的合同无效后的返还财产、赔偿损失等责任。
- 特殊情况下的处理
- 总公司与分公司共同参与诉讼：在某些复杂的案件中，为了更全面地维护自身权益，总公司和分公司可以共同作为诉讼当事人参与诉讼。例如，在涉及多个分支机构的工程纠纷中，可能涉及到总公司与不同分公司之间的内部责任划分问题，此时将总公司和相关分公司共同列为诉讼当事人，有利于法院查明事实，明确各方的权利义务。
- 诉讼过程中的授权变更：如果在诉讼过程中，总公司对分公司的授权发生变更，如撤销授权、变更授权范围等，应当及时通知法院和相关当事人。法院会根据变更后的授权情况，对诉讼主体的资格和诉讼权利义务进行相应的调整。例如，总公司原本授权分公司全权处理工程纠纷诉讼事宜，但在诉讼过程中，总公司决定收回部分授权，只允许分公司处理与工程款支付相关的诉讼事项，此时分公司应当按照变更后的授权范围继续参与诉讼，对于超出授权范围的部分，应当由总公司另行处理。
建议：在实际操作中，总公司应当明确授权范围和期限，并确保授权文件的合法性和有效性。分公司在进行诉讼活动时，应当严格按照授权范围行事，及时收集和保存相关证据，以维护自身和总公司的合法权益。如果对诉讼主体资格或诉讼程序等方面存在疑问，可以随时向我咨询，我会根据具体情况为你提供详细的法律建议。