被私人单位开除后的赔偿问题，需结合具体情况分析，核心结论如下：

1. 若单位违法解除劳动合同
   根据《劳动合同法》第48条、87条，单位需支付赔偿金，标准为经济补偿金的2倍。经济补偿金按工作年限计算，每满1年支付1个月工资（6个月以上按1年算，不满6个月支付半个月工资）。例如：工作3年半被违法开除，赔偿金为3.5×2=7个月工资。
   关键点：单位需存在违法解除行为（如无合法理由、未履行法定程序等），劳动者需保留解除通知、沟通记录等证据。

2. 若单位合法解除劳动合同

   • 因劳动者过错解除（如严重违纪、被追究刑事责任等）：单位无需支付赔偿或补偿（《劳动合同法》第39条）。
     
   • 因客观情况变化解除（如经营困难、技术革新等）：单位需支付经济补偿金（标准同上），并提前30日书面通知或额外支付1个月工资（《劳动合同法》第40条、41条）。
     关键点：单位需举证解除合法性（如规章制度、考核记录等），否则可能被认定为违法解除。

3. 若未签订书面劳动合同
   除赔偿金/补偿金外，劳动者还可主张双倍工资差额（最多11个月，自用工次月起算）及未缴社保的补缴（《劳动合同法》第82条）。
   关键点：需在1年内申请劳动仲裁，逾期可能丧失权利。

行动建议：

1. 立即收集证据（劳动合同、工资条、解除通知、沟通记录等）；
   
2. 确认解除理由是否合法（如单位未说明理由，默认违法解除）；
   
3. 计算应得赔偿金额（结合工作年限、工资标准）；
   
4. 与单位协商或向劳动监察部门投诉，协商不成可申请劳动仲裁。
   

如有细节需进一步分析（如解除理由、工资构成等），可直接向我咨询，我会结合具体情形为您详细解答。