结论：司机压了您的狗后逃跑，这属于交通肇事逃逸行为，您有权要求司机承担相应的赔偿责任。以下是从不同角度为您详细分析的情况及建议：
一、法律责任分析
交通肇事逃逸：
- 根据《中华人民共和国道路交通安全法》的相关规定，发生交通事故后，当事人应当立即停车、保护现场、抢救伤者，并迅速报告执勤的交通警察或者公安机关交通管理部门。司机压了您的狗后逃跑，显然违反了这一规定，构成了交通肇事逃逸。
赔偿责任：
- 司机作为侵权人，应当对其造成的损害后果承担赔偿责任。这包括您因狗被压而产生的直接经济损失（如医疗费用、狗的购买价值等）以及可能的间接损失（如因狗死亡而导致的精神损害赔偿，但这一部分需根据具体情况和当地司法实践来判断）。
二、行动建议
收集证据：
- 立即拍照或录像记录事故现场，包括狗的受伤情况、司机的车辆信息（如车牌号、车型等）以及任何可能的目击者信息。
- 如果可能，尝试获取周边监控录像，以证明事故的发生和司机的逃逸行为。
报警处理：
- 尽快向当地公安机关交通管理部门报案，提供您所掌握的所有证据和信息。警方将会展开调查，并尝试找到逃逸的司机。
寻求法律援助：
- 在报警的同时，您可以考虑咨询专业律师（即我，魏忠祥律师，专注于交通事故、保险理赔领域），以了解您的具体权益和可能的赔偿途径。
- 律师将能够根据您提供的证据和情况，为您制定合适的维权策略，并代表您与司机或其保险公司进行协商或诉讼。
协商或诉讼：
- 如果警方找到了逃逸的司机，您可以尝试与其进行协商，要求其承担赔偿责任。
- 如果协商无果，或者司机拒绝承担责任，您可以考虑通过法律途径来维护自己的权益，如向法院提起民事诉讼。
三、注意事项
- 在处理此类事件时，请保持冷静和理性，避免采取过激行为或言语。
- 尽可能保留所有与事故相关的证据和信息，以便在后续的法律程序中使用。
- 如果您对法律程序或赔偿标准不了解，务必咨询专业律师以获取准确的法律建议。
最后，我理解您现在可能感到焦虑和不安，但请放心，我会尽我所能为您提供专业的法律支持和帮助。如果您有任何疑问或需要进一步的法律咨询，请随时向我提问。