您好，针对您提出的“司机撞狗后跑了怎么办”的问题，这是一个既涉及道德也关乎法律责任的重要议题。以下是我为您详细梳理的处理方式和相关法律责任分析：
一、民事赔偿责任
若狗有主人：
- 司机需要承担因狗受伤或死亡给狗主人带来的直接经济损失，这包括购买狗的费用、饲养成本（如狗粮、疫苗、医疗护理等）以及可能的精神损害抚慰金。
- 如果狗具有特殊价值，比如有血统证明、参赛获奖等，这些特殊价值也应纳入赔偿范围。
若狗无主人：
- 通常情况下，无主的狗在法律上被视为无主财产。但如果逃逸行为导致了其他损害，比如引发了二次事故，司机仍需对相应后果承担民事赔偿责任。
处理费用：
- 狗主人为处理事故而支出的合理费用，如寻找狗的费用、兽医诊疗费用等，也应由肇事司机承担。
二、行政处罚
- 根据《中华人民共和国道路交通安全法》的相关规定，造成交通事故后逃逸，即使尚不构成犯罪，司机也将面临二百元以上二千元以下的罚款，并可能并处十五日以下拘留。
- 如果逃逸行为情节严重或造成了较大的社会影响，司机还可能面临吊销驾驶证等更严厉的处罚。
三、刑事责任
- 在极端情况下，如果撞狗逃逸行为造成了严重后果，比如狗死亡且对他人财产造成了重大损失，或者逃逸行为导致了其他严重后果（如狗主人受伤或死亡），司机可能构成交通肇事罪，将面临三年以上七年以下有期徒刑的处罚；若因逃逸致人死亡，则处罚更重，可达七年以上有期徒刑。
四、处理建议
立即停车并采取措施：无论事故大小，司机都应立即停车，保护现场，并尽可能抢救受伤的动物。
联系与协商：及时与狗主人或相关部门取得联系，说明情况，并协商处理赔偿事宜。
主动报案：如果无法与狗主人取得联系或协商无果，司机应主动向公安机关交通管理部门报案，接受调查和处理。
综上所述，司机撞狗后逃逸是一种不负责任且违法的行为。作为司机，应严格遵守交通规则，确保行车安全；在发生交通事故后，应勇于承担责任，积极履行法律义务，以维护自身和他人的合法权益。希望这些建议能对您有所帮助。