结论：开车压到狗后逃跑，是否构成肇事逃逸，需根据具体情况来判断。以下是对此问题的详细分析：
狗作为个人财产的情况
- 在法律上，有主人的狗被视为其主人的个人财产。当车辆压到有主人的狗时，实际上造成了他人财产的损失。
- 根据《道路交通安全法》及相关规定，造成交通事故后逃逸，尚不构成犯罪的，将面临罚款和拘留的处罚。若司机明知压到了狗，且知道狗有主人，却选择直接离开现场，未停车处理或报警备案，这种行为符合交通肇事逃逸的特征，属于逃逸行为。因为此时司机的行为已实际造成了他人（狗主人）的财产损失，且其离开现场是为了逃避因此产生的法律责任。
- 举例：李某开车时不慎将窜入道路的狗压死，若李某未停车处理而是直接离开，其行为可能构成肇事逃逸，需承担相应法律责任，包括赔偿狗主人的财产损失等。
特殊情况下的认定
- 狗未拴绳且突然闯入道路：若狗在没有主人牵引的情况下突然冲到马路上，导致被车压到，且车主由于难以提前预判和避免而压到狗，主观上没有意识到压到狗而继续行驶离开，这种情况下一般不会认定为肇事逃逸。但从道德层面出发，车主发现后仍应及时与狗主人沟通处理，以体现对生命的尊重和对他人财产的负责态度。
- 无法确认狗是否有主人：如果事发地点偏僻，且无证据表明狗有明确的主人，车辆压到狗后车主离开，较难认定为肇事逃逸。但若之后查明狗是有主人的，车主仍需承担相应责任，包括赔偿等。
流浪狗的情况
- 若被压到的狗是流浪狗，没有主人，那么从法律角度来看，这不构成交通事故中的财产损失，因此驾驶者离开现场也不属于肇事逃逸。然而，从人道主义角度出发，驾驶者仍应尽可能停车查看并采取必要措施，如报警或寻求专业救助，以避免对其他公共安全造成潜在威胁。
法律责任与后果：
- 行政责任：逃逸行为即使没有造成实质损害后果，也可能受到行政处罚，如罚款、扣分等。若构成犯罪又有逃逸行为，还可能被吊销机动车驾驶证，且终生不得重新取得。
- 民事责任：交通事故后逃逸的司机，若被认定负事故的全部责任，则需承担全部的民事赔偿责任，包括赔偿狗主人的财产损失等。
- 刑事责任：根据《中华人民共和国刑法》的相关规定，违反交通运输管理法规发生重大事故，致人重伤、死亡或使公私财产遭受重大损失的，可能面临刑事处罚。若肇事后逃逸或有其他特别恶劣情节，刑罚将更为严厉。
建议措施：
- 在行车过程中保持高度警惕，注意路况和周围环境，特别是要注意观察是否有小动物突然窜出。
- 一旦不慎撞到小动物，应立即停车查看并妥善处理。若条件允许，可及时与动物主人联系并协商解决方案；若无法确定动物主人或动物状态不明，可报警并等待警方处理。
- 保持冷静和理性，避免采取逃避或不当行为，以免给自己带来不必要的麻烦和法律责任。
综上所述，开车压到狗后是否构成肇事逃逸需根据具体情况判断。为避免不必要的法律纠纷和道德谴责，建议驾驶者在行车过程中保持高度警惕并妥善处理此类事件。如有任何法律疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。