当劳动者与用人单位连续签订三次固定期限劳动合同后，再次续签劳动合同时，主要依据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定来操作。以下是对这一问题的详细解答：

一、法律规定

根据《中华人民共和国劳动合同法》第十四条的规定，当劳动者与用人单位连续订立二次固定期限劳动合同，且劳动者没有严重违反用人单位的规章制度、严重失职给用人单位造成重大损害等法定解除或终止合同的情形时，续订劳动合同的，除非劳动者主动提出订立固定期限劳动合同，否则应当订立无固定期限劳动合同。这一原则在连续签订三次固定期限劳动合同后同样适用，甚至更为明确，旨在保护劳动者的合法权益，促进劳动关系的稳定。

二、续签流程

1. 用人单位的通知义务：

   • 在第三次劳动合同期满前，用人单位应提前合理时间（通常建议提前一个月左右）向劳动者发出续签劳动合同的意向通知。
   • 通知中需明确告知劳动者公司愿意续签合同，并说明拟续签合同的主要条款，包括工作岗位、工作地点、劳动报酬、福利待遇等。

2. 双方协商与合同签订：

   • 用人单位需与劳动者就续签事宜进行协商，明确询问劳动者是否愿意续签劳动合同，并了解劳动者对于合同期限的意向。
   • 若劳动者未提出订立固定期限劳动合同，用人单位应主动提出订立无固定期限劳动合同。
   • 双方就劳动合同的各项条款进行协商，确保条款符合法律规定，保障双方合法权益。
   • 协商一致后，签订书面的无固定期限劳动合同，合同中应明确注明“无固定期限劳动合同”字样及起始日期等关键信息。

3. 合同交付与签收：

   • 劳动合同应由用人单位和劳动者各执一份，用人单位需按规定将劳动合同文本交付给劳动者，并要求劳动者签收确认。

三、注意事项

1. 劳动者权益保障：

   • 劳动者有权要求签订无固定期限劳动合同，用人单位应尊重劳动者的选择。
   • 劳动者应仔细审查合同条款，特别是与前几次合同相比是否有不利于自身的变更。

2. 用人单位责任：

   • 用人单位不得强迫劳动者签订固定期限劳动合同，否则可能构成违法。
   • 如果用人单位违反规定不与劳动者订立无固定期限劳动合同，自应当订立无固定期限劳动合同之日起向劳动者每月支付二倍的工资。

3. 特殊情况处理：

   • 如果劳动者出于个人原因主动提出签订固定期限劳动合同，那么双方可以在协商一致的基础上签订固定期限劳动合同。但用人单位应确保劳动者的选择是自愿的，并保留相关证据以防争议。
   • 在某些特殊情况下，如用人单位面临重大经营调整、项目合作期限有限等，可能需要与劳动者签订固定期限劳动合同。但这种情况下，用人单位应向劳动者充分说明原因，并在合同中明确约定相关条款，以保障劳动者的知情权。

四、综合建议

• 在签订第三次劳动合同前，双方应确认前两份合同的履行情况，确保无遗留争议。
• 劳动者应保留好前两份合同及本次合同的所有相关文件，以便在需要时作为维权的依据。
• 如有任何疑问或争议，建议咨询专业律师或劳动仲裁机构，以确保自身权益得到妥善维护。

通过遵循上述流程与注意事项，劳动者与用人单位可以更加规范、合法地完成第三次劳动合同的续签过程，从而保障双方的合法权益，促进劳动关系的和谐稳定。