关于用人单位解除与长期固定合同（即无固定期限劳动合同）员工的劳动关系时的赔偿问题，这确实是一个涉及劳动者切身利益的重要议题。以下是根据《中华人民共和国劳动合同法》及相关规定，为您提供的详细解答：
一、合法辞退且无需支付赔偿的情形
若员工存在以下过错，用人单位有权解除劳动合同，且无需支付经济补偿：
- 试用期间不符合录用条件：员工在试用期内被证明不符合用人单位设定的录用条件。
- 严重违反规章制度：员工严重违反用人单位的规章制度，且该规章制度已明确告知员工。
- 严重失职或营私舞弊：员工因严重失职或营私舞弊，给用人单位造成重大损害。
- 双重劳动关系且影响工作：员工同时与其他用人单位建立劳动关系，对完成本单位工作任务造成严重影响，或经用人单位提出后拒不改正。
- 劳动合同无效：员工以欺诈、胁迫手段或乘人之危，使劳动合同无效。
- 被依法追究刑事责任：员工被依法追究刑事责任。
二、合法辞退但需支付经济补偿的情形
在以下情况下，用人单位需提前三十日以书面形式通知员工，或额外支付一个月工资后，可解除劳动合同，并需支付经济补偿：
- 员工患病或非因工负伤：员工患病或非因工负伤，在医疗期满后不能从事原工作，也不能从事由用人单位另行安排的工作。
- 员工不能胜任工作：员工不能胜任工作，经过培训或调整工作岗位后，仍不能胜任。
- 客观情况重大变化：劳动合同订立时所依据的客观情况发生重大变化，致使劳动合同无法履行，且用人单位与员工协商未能就变更劳动合同内容达成协议。
经济补偿的计算方式：
- 按员工在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资。
- 六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资。
- 若员工月工资高于用人单位所在直辖市或设区的市级人民政府公布的本地区上年度职工月平均工资三倍的，经济补偿金按该三倍数额支付，但最高不超过十二年。
- 月工资是指员工在劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资。
三、违法辞退需支付赔偿金的情形
若用人单位违反《劳动合同法》规定解除或终止劳动合同，员工有权要求继续履行劳动合同；若不要求继续履行或劳动合同已无法继续履行，用人单位需按经济补偿标准的二倍向员工支付赔偿金。
赔偿金计算示例：
- 如员工在该单位工作3年，月工资5000元，若用人单位违法辞退，则需支付赔偿金为5000元×3年×2=30000元。
四、特别说明与建议
- “长期固定合同工”的法律表述：在法律上，更准确的表述应为“无固定期限劳动合同员工”。
- 经济补偿与赔偿金的区别：经济补偿是用人单位在合法解除劳动合同时，根据员工工作年限和月工资水平支付的补偿；而赔偿金则是用人单位违法解除劳动合同时，需按经济补偿标准的二倍支付的惩罚性赔偿。
- 咨询专业律师：由于劳动合同解除与补偿问题涉及复杂的法律法规和实际情况，建议用人单位和员工在面临此类问题时，咨询专业劳动法律师，以确保合法权益得到保障，并准确了解应得的赔偿或需承担的责任。
希望以上解答能为您提供清晰、详细、有深度的帮助。如有任何进一步的问题或疑虑，请随时咨询。