在处理解除固定期限劳动合同员工的赔偿问题时，我们需要根据具体情况来细致分析，并依据相关法律法规来确定赔偿或补偿的标准。以下是对这一问题的详细解答：

一、合法解除且无需支付赔偿的情形

当员工存在特定过错，如试用期间不符合录用条件、严重违反公司规章制度、严重失职给公司造成重大损害、同时与其他单位建立劳动关系严重影响本职工作、以欺诈手段订立劳动合同或被依法追究刑事责任等，公司可以合法解除劳动合同，且无需支付任何经济补偿或赔偿。

二、合法解除但需支付经济补偿的情形

1. 协商一致解除：

   • 若由公司提出并与员工协商一致解除劳动合同，公司需按员工在本单位工作的年限支付经济补偿。每满一年支付一个月工资，六个月以上不满一年的按一年计算，不满六个月的支付半个月工资。

2. 无过失性辞退：

   • 如员工患病或非因工负伤无法继续工作，或不能胜任工作经培训调岗后仍不能胜任，或劳动合同订立时的客观情况发生重大变化导致合同无法履行且协商未果，公司提前三十日以书面形式通知或额外支付一个月工资后，可解除劳动合同，并需支付经济补偿。

3. 经济性裁员：

   • 因公司重整、生产经营困难等需要裁减人员，且符合法定条件，公司可裁员并支付经济补偿。

4. 劳动合同期满终止：

   • 除公司维持或提高劳动合同约定条件续订而员工不同意的情况外，劳动合同期满终止时，公司应支付经济补偿。

经济补偿的限额：

• 如果员工的月工资高于所在地区上年度职工月平均工资的三倍，经济补偿的标准按职工月平均工资三倍的数额支付，且最高不超过十二年。

三、违法解除需支付赔偿金的情形

若公司无故或违反《劳动合同法》规定解除劳动合同，如女职工孕期、产期、哺乳期内无正当理由解除，则需按照经济补偿标准的二倍向员工支付赔偿金。

四、特殊注意事项

1. 分段计算：

   • 对于工作年限跨越2008年前后的员工，在计算经济补偿金时可能需分段考虑，因为《劳动合同法》自2008年1月1日起施行。

2. 个人所得税：

   • 员工因解除劳动关系取得的一次性补偿收入，需按照“工资、薪金所得”项目计征个人所得税。

3. 实际操作建议：

   • 在解除劳动合同前，双方应充分沟通并明确权利义务，以避免纠纷。如遇争议，可寻求劳动仲裁机构或人民法院的帮助。

五、总结与建议

在处理解除固定期限劳动合同员工的赔偿问题时，公司应首先明确解除合同的合法性及原因，并根据不同情形确定是否需要支付经济补偿或赔偿金。为确保双方权益，建议公司在解除劳动合同时严格遵守法律法规，并与员工友好协商。如有争议，可及时咨询专业法律人士或申请劳动仲裁以维护自身合法权益。