结论：您可以向教育局申请获取对方信息，但教育局是否提供取决于具体情况及当地政策。同时，您还可以考虑通过报警、民事诉讼等途径来维护自身权益。
分析说明：
向教育局申请获取信息：
- 学校作为教育机构，在保护学生隐私的同时，也有责任在必要时协助处理学生间的纠纷。若学校拒绝提供对方信息，您可以尝试向教育局反映情况，申请教育局介入协调或提供必要信息。
- 教育局作为学校的主管部门，有权对学校的管理行为进行监督和指导。在涉及学生权益保护的情况下，教育局可能会根据具体情况，要求学校提供相关信息或协助处理纠纷。但需要注意的是，教育局是否提供信息取决于当地政策、学校规定以及具体案情，并非一定能够成功获取。
报警处理：
- 小孩被打属于治安案件或刑事案件（视伤情而定），您可以立即报警。警方在调查过程中，有权依法获取并核实涉案人员的身份信息，包括对方的信息。
- 报警后，警方会进行调查取证，并根据调查结果依法处理。如果对方构成违法或犯罪，警方将依法追究其责任，并可能要求其承担医药费等民事赔偿责任。
民事诉讼途径：
- 如果报警后未能得到有效解决，或者您希望直接通过法律途径维护权益，可以考虑向法院提起民事诉讼。
- 在民事诉讼中，您需要提供证据证明对方实施了侵权行为（如打人），并造成了损害后果（如医药费支出）。法院在审理过程中，会依法调查取证，并可能要求对方提供身份信息等必要资料。
- 如果法院认定对方构成侵权，将判决其承担民事赔偿责任，包括支付医药费等。
行动建议：
- 首先尝试与学校沟通：与学校管理层或相关老师沟通，说明情况并要求学校协助处理纠纷，包括提供对方信息或协调双方家长进行协商。
- 向教育局反映情况：如果学校拒绝提供信息或处理不力，可以向教育局反映情况并申请协助。
- 及时报警：无论学校或教育局是否提供信息，都应立即报警并保留好相关证据（如医疗记录、现场照片等）。
- 考虑民事诉讼：如果报警后未能得到有效解决或希望直接通过法律途径维权，可以咨询专业律师并考虑向法院提起民事诉讼。
后续思考依据：
- 在处理此类纠纷时，应优先考虑通过协商、调解等和平方式解决。如果无法达成一致或对方拒绝承担责任，再考虑通过法律途径维权。
- 在维权过程中，应保留好相关证据并咨询专业律师的意见。律师可以根据具体情况提供法律建议和指导，帮助您更好地维护自身权益。