公立学校和聘用老师之间是否构成劳动关系，需根据老师的具体身份和聘用合同的性质来判断。以下是对此问题的详细分析：

1. 公立学校编制内教师：

   • 法律关系：通常被视为事业单位工作人员，与学校之间的关系受《事业单位人事管理条例》等法规调整。这种关系在性质上更接近于人事关系，而非典型的劳动关系。
   • 实际情况：编制内教师通过国家统一考试或特定程序进入公立学校，其管理、待遇等遵循国家相关规定，与学校之间形成的是一种基于人事管理的关系。

2. 公立学校聘用制教师（非编制内）：

   • 法律关系：若公立学校与教师签订了劳动合同，并明确双方的权利和义务，则构成劳动关系。
   • 法律依据：根据《中华人民共和国劳动合同法》第二条，国家机关、事业单位和与其建立劳动关系的劳动者，订立、履行、变更、解除或者终止劳动合同，依照本法执行。因此，公立学校中采用聘用制的教师，若签订了劳动合同，也视为存在劳动关系。
   • 实际情况：这些教师虽在公立学校工作，但非事业编制，以合同形式明确双方权利义务，受《劳动法》和《劳动合同法》的保护。

3. 私立学校教师：

   • 法律关系：无论是否有编制，私立学校教师与学校之间均构成劳动关系。
   • 法律依据：私立学校作为民办非企业单位，与教师签订劳动合同的，双方存在劳动关系，受《劳动法》和《劳动合同法》的调整和规范。
   • 实际情况：私立学校教师通常通过招聘程序入职，签订劳动合同，享受劳动法规定的各项权益。

特殊情形下的认定：

• 兼职教师：若未与学校建立全职劳动关系，仅按课时或项目获取报酬，可能不构成传统意义上的劳动关系，而更倾向于劳务关系。
• 退休返聘教师：已享受养老保险待遇的教师被返聘，通常视为劳务关系，不受《劳动法》保护，但可通过合同约定权利义务。

法律建议：

• 对于公立学校聘用制教师和私立学校教师，建议仔细阅读并理解与学校签订的劳动合同内容，确保自己的权益得到充分保障。
• 若遇到劳动纠纷或权益受损情况，可依据《劳动法》和《劳动合同法》的相关规定，通过劳动仲裁或诉讼等途径维护自己的合法权益。

法律依据：

• 《中华人民共和国劳动合同法》第二条：中华人民共和国境内的企业、个体经济组织、民办非企业单位等组织（以下称用人单位）与劳动者建立劳动关系，订立、履行、变更、解除或者终止劳动合同，适用本法。国家机关、事业单位、社会团体和与其建立劳动关系的劳动者，订立、履行、变更、解除或者终止劳动合同，依照本法执行。
• 《事业单位人事管理条例》：规范事业单位人事管理，适用于编制内教师的权益保障。

综上所述，公立学校和聘用老师之间是否构成劳动关系，需根据老师的具体身份和聘用合同的性质来判断。在实际操作中，应依据相关法律法规和政策规定，准确界定双方之间的法律关系，以维护各自的合法权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。