您好，关于您提出的“哪个部门可以对监护人训诫”的问题，这通常涉及多个部门在特定情境下的联合行动或各自职责的履行。

首先，根据《中华人民共和国未成年人保护法》和《中华人民共和国预防未成年人犯罪法》等相关法律法规，当监护人存在管教不严、监护缺失等问题，影响未成年人健康成长，甚至导致未成年人违法犯罪或受到侵害时，相关部门有权对监护人进行训诫。

具体来说，公安机关在接到相关报告或在办理案件过程中，如果发现监护人存在上述情形，是有权对监护人进行训诫的，并可以责令其接受家庭教育指导。例如，在莆田市涵江区的案例中，公安派出所民警就向未依法履行监护职责导致未成年人违法犯罪的监护人进行了训诫，并送达了《训诫书》和《责令接受家庭教育指导通知书》。

此外，人民检察院在办理涉及未成年人案件时，如果发现监护人存在问题，也可以采取相应措施。他们可以向监护人发出《督促监护令》，要求监护人依法履行监护职责，并在必要时联合公安等部门对监护人进行训诫。如道县检察院的案例中，未检检察官就联合公安民警对涉案未成年人的家长开展了训诫，并宣告送达了《督促监护令》。

除了公安机关和人民检察院，居民委员会、村民委员会在发现监护人存在问题时，也有权进行劝诫、制止，并在情节严重时及时向公安机关报告。

综上所述，对监护人进行训诫的部门主要包括公安机关、人民检察院，以及在特定情况下可能涉及的居民委员会、村民委员会。这些部门在各自的职责范围内，共同致力于保护未成年人的合法权益，促进他们的健康成长。希望这个解答能对您有所帮助。