予以训诫的负责部门主要是公安机关，但在特定情形下，人民检察院和人民法院也有权进行训诫。以下是对此问题的详细分析：
一、公安机关的训诫职责
法律依据：
- 根据《中华人民共和国家庭教育促进法》第四十九条，公安机关在办理案件过程中，发现未成年人存在严重不良行为或者实施犯罪行为，或者未成年人的父母或其他监护人不正确实施家庭教育侵害未成年人合法权益的，可以根据情况对父母或其他监护人予以训诫，并可以责令其接受家庭教育指导。
- 此外，《中华人民共和国预防未成年人犯罪法》、《保安服务管理条例》、《国务院令第431号》（关于信访的规定）、《拘留所条例》以及《公安机关强制隔离戒毒所管理办法》等法律法规也均规定了公安机关在不同情形下对特定对象进行训诫的职责。
适用情形：
- 公安机关的训诫适用于多种情形，包括但不限于未成年人存在严重不良行为或实施犯罪行为、未成年人的父母或其他监护人不正确实施家庭教育、保安员违反规定、信访人违反信访规定、被拘留人违反拘留所规定以及戒毒人员违反戒毒所规定等。
二、人民检察院和人民法院的训诫职责
法律依据：
- 同样根据《中华人民共和国家庭教育促进法》第四十九条，人民检察院和人民法院在办理案件过程中，发现上述与未成年人相关的情形时，也有权根据情况对父母或其他监护人予以训诫。
适用情形：
- 人民检察院和人民法院的训诫主要适用于在办理案件过程中发现的与未成年人相关的严重不良行为、犯罪行为或家庭教育不当等情形。
三、训诫的对象和目的
对象：
- 训诫的对象主要包括违法人员、未成年人的父母或其他监护人、保安员、信访人、被拘留人以及戒毒人员等。
目的：
- 训诫的目的是对违法人员进行批评教育，并责令其改正错误行为，不得再犯。通过训诫，可以促使相关人员认识到自己的错误，并采取措施加以改正，从而维护社会秩序和公共利益。
法律建议：
- 如果您或您身边的人遇到了需要训诫的情形，建议首先了解相关法律法规，明确训诫的适用条件和程序。
- 在必要时，可以寻求专业律师的帮助，以确保训诫的合法性和有效性。
- 同时，也建议相关人员积极配合训诫工作，认真反思自己的错误行为，并采取措施加以改正。
如果您在训诫方面有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。