结论前置：

1. 第一顺位继承人并非严格按顺序继承，而是同时继承。在母亲去世后，其遗产由第一顺序继承人（配偶、子女、父母）共同继承，并非父亲继承后子女才继承。
2. 子女在父亲在世时，依然有资格继承母亲的遗产。只要子女属于第一顺序继承人，且未丧失继承权，就有权参与母亲遗产的分配。

详细分析：

一、继承顺序与共同继承

根据《中华人民共和国民法典》第一千一百二十七条的规定，遗产继承的第一顺序包括配偶、子女、父母。这意味着，在母亲去世后，其遗产并非由某一顺序继承人单独继承，而是由所有第一顺序继承人共同继承。因此，父亲和子女作为第一顺序继承人，都有权继承母亲的遗产，并非父亲继承后子女才继承。

二、子女继承权的独立性

子女的继承权并不依赖于父亲是否在世。只要子女属于第一顺序继承人，且未丧失继承权（如因故意杀害被继承人、遗弃被继承人等行为被剥夺继承权），就有权参与母亲遗产的分配。父亲在世并不影响子女作为第一顺序继承人的地位和继承权。

三、同一顺序继承人的份额分配

在同一顺序继承人之间，原则上遗产应当均等分配。但存在以下特殊情形时，分配会有所调整：

1. 对生活有特殊困难且缺乏劳动能力的继承人：应给予适当照顾，分配更多遗产。
2. 对被继承人尽了主要扶养义务或者与被继承人共同生活的继承人：可以多分遗产。
3. 有扶养能力和条件但未尽扶养义务的继承人：应当不分或少分遗产。
4. 继承人之间协商同意：也可以不均等分配遗产。

四、实际案例说明

假设母亲去世后留下了一套房产和一定数额的存款。父亲、子女和母亲的父母（如果仍在世）作为第一顺序继承人，都有权参与遗产的分配。在分配时，如果所有继承人都同意均等分配，那么每个人将获得相等的份额。如果存在上述特殊情形，如某个子女对母亲尽了主要扶养义务，那么该子女可能会获得更多的遗产份额。

五、法律建议

1. 了解继承顺序和规则：在处理家庭财产纠纷时，首先要了解遗产继承的顺序和规则，确保自己的权益得到保障。
2. 协商解决纠纷：在继承过程中，如果发生纠纷，建议首先通过协商解决。协商可以节省时间和成本，同时维护家庭和谐。
3. 寻求法律帮助：如果协商无果，或者对继承顺序和规则有疑问，建议寻求专业律师的帮助。律师可以提供专业的法律意见和指导，帮助解决纠纷。

总结：遗产继承是一个涉及家庭财产分配的重要法律问题。在处理这类问题时，要了解继承顺序和规则，确保自己的权益得到保障。同时，也要注重家庭和谐，尽量通过协商解决纠纷。如果有任何疑问或需要帮助，可以直接向我咨询。